【大学入試031】大阪教育大学

次のようなゲームを考える．成功の確率が\(p \left( 0<p<1 \right)\)，失敗の確率が\(q\left( =1-p \right)\)であるような試行を\(\rm A\)と\(\rm B\)の２人が行い，先に成功した方を勝ちとする．なお，\(\rm A\)が勝つ確率が\(\rm B\)が勝つ確率より大きいとき，ゲームは\(\rm A\)に有利であるといい，\(\rm A\)が勝つ確率と\(\rm B\)が勝つ確率が等しいとき，ゲームは公平であるという．
このとき，\(\rm A\)から始めるが，\(\rm A\)が１回に対して，\(\rm B\)が２回試行を行えるとする．すわわち，\(\rm ABBABB \cdots \)という順で試行を行う．\(p\)がどのような値のとき，ゲームは公平になるか．

★題意は無限級数を使って解くということでしょうね★