// \(x \ne 1\)のとき，等比数列の和の公式 \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} x^k = \frac{x^n-1}{x-1}\) の両辺を\(x\)で微分せよ．その結果を利用して，\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}=kx^k\)を求めよ． ★右辺の計算は慎重に★

袋の中に赤玉，青玉，白玉，黒玉が１個ずつ，合計４個入っている． 【操作】袋から同時に２個の玉を取り出し，玉の色を記録し，取り出された玉を袋に戻す。 上の操作を１回の操作とし，４個の玉の全てが少なくとも１回取り出された時点で操作を終える．この…

// \(n\)を正の整数とする．長さ\(n\)の整数列\(a_1\)，\(a_2\)，\(a_3\)，\(\ldots\)，\(a_n\)に対して，第\(i\)項から第\(j\)項までの部分和 \(\displaystyle S_{i,j}=\sum_{k=i}^j a_k\) の最大値を求めたい．ただし，\(1 \leq i \leq j \leq n\)である．…

// // どんな有理数\(q\)に対しても，無理数の列\(\displaystyle \{ p_n \}_{n=1}^{\infty}\)で，\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n = q\)となるものが存在する．その理由を述べよ． ★具体例を作れることが理由★

// \(1\)が\(1\)，\(2\)が\(2\)，\(3\)が\(3\)，\(\cdots\)にくるようなあみだくじを作ろうとしています．図について，もっとも少ない本数の横線を入れてあみだくじを完成させなさい．ただし，入れる横線はとなり合うたて線２本を結ぶものに限り，横線どうし…

７個のさいころを同時に投げるとき，６種類の目がすべて出る確率を求めよ． ★遊ぱちの大当たり確率？★

// // 図のように，円周上に４点\(\rm A\)，\(\rm B\)，\(\rm C\)，\(\rm D\)があり，\(\rm \angle ABD=\angle CBD\)，\(\rm \angle DCB=90°\)，\(\rm BC=5\)，\(\rm BD=6\)である．\(\rm AC\)と\(\rm BD\)の交点を\(\rm E\)とする．このとき，\(\rm \triang…

// // \(p\)を奇素数とする． \(a= \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & \cdots & p-1 & p \\ 2 & 3 & \cdots & p & 1 \\ \end{array} \right)\)，\(b= \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & \cdots & p-1 & p \\ p & p-1 & \cdots & 2 & 1 \\ \end{array} …

// // 次の行列式の値を求めよ． \(\left| \begin{array}{rrrr} -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ \end{array} \right|\) ★互いに直交して大きさが等しいので４次元超立方体ですね★

// // 図の点線は，同じ大きさの正三角形をすきまなく並べたものです．この正三角形の頂点を結んで，図のような三角形\(\rm ABC\)と三角形\(\rm PQR\)を作りました．このとき，（三角形\(\rm ABC\)の面積）：（三角形\(\rm PQR\)の面積）を求めなさい． ★三…

// // 実数\(x\)に対し，\(x\)を超えない最大の整数を\([x]\)で表す．自然数\(p\)に対して，\([\sqrt{n} \hspace{0.15em}]=p\)をみたす自然数\(n\)の集合を\(M_p\)とする．\(M_p\)の要素で\(p\)の整数倍であるものは全部で何個あるか． ★ガウス記号には不等…

// // 図において，\(\rm M\)は辺\(\rm BC\)の中点であるとき，\(\rm \angle DME\)の大きさを求めよ． ★どこかに円の匂いが★

// // \(n\)を正整数とし，\(A\)を\(n\)次複素正方行列とする．不等式 \(\rm rank \it A \rm + rank \it \left(E_n-A \right) \geq n\) を示せ．ここで，\(E_n\)は\(n\)次単位行列である． ★階数の特徴づけが勝負★

// // ３次元ベクトル\(\overrightarrow{A}\)，\(\overrightarrow{B}\)，\(\overrightarrow{C}\)に関する次の公式を証明せよ． \(\left( \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} \right) \times \overrightarrow{C} = \left( \overrightarrow{A} \hsp…

// // 次の\(7\)の数字の間に\(+\)，\(-\)，\(\times\)，\(\div\)のいずれかをいれ，（ ）を一カ所つけて答えが\(10\)となるように式を完成させなさい．ただし，同じ記号を何回使ってもよいものとします． \(7 7 7 7 7=10\) ★パズル的な問題でも戦略を持つこ…

平面上で，３頂点の座標がすべて整数の組であるような正三角形は存在するか． ★さまざまなアプローチがある★

// // 図で，六角形\(\rm ABCDEF\)は，１辺の長さ\(\rm 2cm\)の正六角形である．この六角形の対角線\(\rm DB\)を半径とし，\(\rm \angle BDF\)を中心角とするおうぎ形\(\rm BDF\)の面積を求めなさい．ただし，円周率は\(\pi\)とする． ★数学の問題として美し…

// // \(n\)を自然数とし， \(A=\left[ \begin{array}{rr} \displaystyle \cos\frac{\pi}{n} & \displaystyle -\sin\frac{\pi}{n} \\ \\ \displaystyle \sin\frac{\pi}{n} & \displaystyle \cos\frac{\pi}{n} \\ \end{array} \right]\) とする．このとき，\(…

// // 実\(n\)次正方行列\(X\)で \(X^k \ne E_n\left ( 1 \leq k < n \right )\)，\(X^n=E_n\) となるものの例を作れ．ここで，\(E_n\)は単位行列を表す． ★点の移動と思えば★

// // ある４桁の数に\(4\)をかけた後に\(19\)を加え，さらに\(25\)かけた後に，元の４桁の数を加えたところ，下２桁が\(71\)となる７桁の数となった．この７桁の数の下４桁を示せ． ★計算結果が７桁となるのがキモ★

// // 数\(\rm A\)は２けたの整数とします．\(\rm A\)の十の位と一の位の和で\(\rm A\)を割った余りを\(\rm \fbox{A}\)とします．例えば，\(\fbox{47}=3\)です．\(\rm \fbox{A}\)が最も大きい数をとるときの\(\rm A\)はいくつですか．また，そのときの\(\rm …

// // ジョーカーを除く１組52枚のトランプのカードを１列に並べる試行を考える．番号\(7\)のカードが２枚ずつ隣り合い，４枚連続しては並ばない確率を求めよ． ★絶望的に低い確率ではないようです★

// // 関数\(\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2\)のグラフ上に３点\(\rm A\)，\(\rm B\)，\(\rm C\)がある．\(\rm A\)，\(\rm B\)の座標は\(\displaystyle \rm A \left( -2,\frac{4}{3}\right)\)，\(\displaystyle \rm B \left( 1,\frac{1}{3}\right)\)であり…

// // 実数列\(\{ a_n \}\) が条件 \(a_n+a_{n+1}+a_{n+2}=0\) \(\left(n=1,2,3,\ldots \right) \) を満たすとき，級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}\)は収束することを示しなさい． ★どこで切っても同じ値の金太郎飴★

// // サイコロ２つの目の和の期待値を求めよ．ただし，ぞろ目の時はもう一度振り，この２回の和を値とし，たとえば，\(\left( 6, 6 \right)\)，\(\left( 4, 4 \right)\)，\(\left( 2, 2 \right)\)，\(\left( 1, 4 \right)\)と出たら数字は\(29\)である． ★…

// // もうこれ以上約分できない分数があります．分母に\(21\)を加えて約分すると\(\displaystyle \frac{1}{8}\)となり，分母から\(9\)をひいて約分すると\(\displaystyle \frac{2}{13}\)となります．最初の分数は何ですか． ★攻略のカギは分子★

男子６人と女子３人がいる．円形に並ぶとき，どの女子も隣り合わない並び方は何通りあるか． ★合コン？ キャバクラ？★

// // \(a\)は正の数とする．図のように，１辺の長さが\(2\)の正六角形\(\rm ABCDEF\)の頂点\(\rm A\)，\(\rm B\)，\(\rm C\)，\(\rm D\)が関数\(y=ax^2\)のグラフ上にあるとき，\(a\)の値を求めよ． ★\(\rm BC\)は見た目どおりに水平です★

半円の重心を求めなさい． ★見た目以上にヘビーです★

１組のトランプ（52枚）から無作為に13枚のカードを引く．引いた13枚のカードに４枚のエースが含まれている確率を求めなさい． ★13枚引いてもエースのフォーカードにはなりにくいんですね★