// // 自然数\(n\)に対して，和 \(\displaystyle S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\)を考える． 各自然数\(n\)に対して \(2^k \leqq n\)をみたす最大の整数\(k\)を\(f(n)\)で表すとき，２つの奇数\(a_n\)，\(b_n\)が存在して \(\displaysty…

// // １辺の長さが\(1\)の正三角形14個で囲まれた，へこみのない多面体をつくる．この多面体は，正三角柱の各側面に正四角錐をそれぞれ１個ずつはり合わせたものと考えることができる．また，この多面体の展開図は下の図であり，図のように点\(\rm A\)，\(\…

// // 周の長さ\(1\) の円の円周上に１点\(\rm A\) を固定し，次に，同じ円周上で一様に分布するように，別の点\(\rm B\) を取る。そして，それら２点で区切られてできる２つの弧\(\rm AB\) のうち，短いほうの長さを\(X\) とし，長いほうの長さを\(Y\) とす…

// // 連続関数 \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \)が， \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( f(x+2)-f(x) \right) =3 \) をみたすとき，\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} \)が存在することを示せ．さらにその値を求…

// // \(\rm A\)チームと\(\rm B\)チームがドッジボールの試合を行います．勝ったチームには\(3\)ポイント，負けたチームには\(1\)ポイント，引き分けの場合は両チームに\(2\)ポイントずつの得点が与えられます．最初の試合は\(\rm A\)チームが勝ち，次の試…

// // \(n\)桁の自然数のうち，\(0\)～\(9\)のうちの，ちょうど２種類の数字から成り立っているものの個数を求めよ． ★油断するとワナにかかる★

// // \(360\)の正の約数について，逆数の総和を求めよ． ★約数の総和を求める問題の応用★

// // ３次関数 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) が\(x=1,-3\)で極値を持つとき，極大値と極小値の差はいくらか． ★３次関数慣れしているなら簡単★

// // \(0\)～\(9\)の数字を１回ずつ使って10桁の数を作り，上から２桁の数が\(2\)で，３桁の数が\(3\)で，\(\cdots \cdots\)，\(n\)桁の数が\(n\) \(\left( n=2,3, \cdots ,10 \right) \)で割り切れるようにしなさい． ★解が一意存在であることが不思議★

// // 分数\(\displaystyle \frac{2183}{2923}\)を約分して既約分数にせよ． ★小学生でも解けないことないですけど★

// // 下の図のような円すいがあります．長さ\(6 \rm cm\)のひもの一方のはしを円すいの頂点につけます．円すいの表面上で，ひもが届く範囲の面積は何\(\rm cm^2\)ですか．円周率は\(3.14\)とします． ★ひもの他方にアリがついていると想像★

// // 定数\(a\)，\(b\)に対して，次の式が成り立つとき，\(a\)，\(b\)の値を求めなさい．\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ax^2-bx^3}{\tan x-\sin x}=1\) ★ロピタルの定理を使う人は軟弱★

// // ３つの自然数\(p\)，\(q\)，\(r\)は，\(1 \leqq p

// // 正三角形\(\rm ABC\)において，３つの辺上の点全体の集合を\(E\)とおく．\(E\)を２つに分割するとき，どちらか一方は直角三角形をなす３点を含むことを示せ． ★あたり前に思えることほど証明することが難しい★

// // フィンランド人，スウェーデン人，ノルウェー人それぞれ一人ずつが次のゲームをする．白いボールが\(a\)個と赤いボールが\(b\)個，合計\(a+b\)個入っている箱から，フィンランド人，スウェーデン人，ノルウェー人，\(\cdots\)の順序で，誰かが最初に白…

// // ある整数の各位の数を加えていき，計算の結果が１けたの整数になるまでくり返す．例えば，\(57\)であれば，\(5+7=12\) → \(1+2=3\)， \(6567\)であれば，\(6+5+6+7=24\) → \(2+4=6\)となる． このように計算した結果を記号\(【 】\)を使って，\(\hspac…

// // 空間において，原点\(\rm O\)を通らない平面\(\alpha\)上に一辺の長さ\(1\)の正方形があり，その頂点を順に\(\rm A\)，\(\rm B\)，\(\rm C\)，\(\rm D\)とする．\(\rm OA=OB=OC\)のとき，ベクトル\(\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\…

// // \(\cos40^\circ\)，\(\cos80^\circ\)，\(\cos160^\circ\)の値を解とする整数係数の３次方程式を求めなさい．答えは最高次の係数が正，かつ係数全体の公約数が\(1\)以外にないように標準化した形で求めなさい． ★\(\cos40^\circ+\cos80^\circ+\cos160^\…

// // 5進法で表される循環小数\(0.1\dot{2}\dot{3}\left( 0.1232323\cdots \right) \)を10進法で表しなさい．ただし，10進法で表された\(0.123\)は次のように表すこともできる． \(\displaystyle 0.123=1×\frac{1}{10}+2×\left( \frac{1}{10} \right)^2+3×\…

// // \(A^2+E_2\)をみたす２次実正方行列\(A\)の例を１つ与えよ． また，\(B^2+E_3\)をみたす３次実正方行列\(B\)は存在しないことを示せ． ここで，\(E_2\)，\(E_3\)は各々２次，３次の単位行列を表す． ★具体例を見つけることも数学が上達するための必要…

// // 1から5までの整数を1回ずつ使って，次の式 \(\fbox{ ア }\) ～ \(\fbox{ オ }\) にあてはめて計算します．最も大きいときの答えを求めなさい． \(\fbox{ ア }-\fbox{ イ }÷\left( \fbox{ ウ }+\fbox{ エ }×\fbox{ オ } \right)\) ★引く数や割る数が小…

// // 下の図で，三角形\(\rm ABC\)の辺\(\rm AC\)，\(\rm BC\)上にそれぞれ点\(\rm D\)，\(\rm E\)があります． \(\rm \angle ABD=\angle DBE=\angle FCD\)，\(\rm \angle DEA=\angle DEF=\angle FEC\)であるとき， \(\angle x\)の大きさを求めなさい． ★標…

// // \(p\)と\(q\)を自然数として， \(\displaystyle \frac{p}{q}=1−\frac{1}{2}+\frac{1}{3}−\frac{1}{4}−⋯−\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}\) が成立するとき，\(p\)は\(1979\)の倍数となることを証明せよ． ★\(1319\)と\(1979\)には何の因果もなさそうん…

// // 整数の数列\(a_1,a_2,a_3,a_4\)において，\(a_1,a_2,a_3\)はこの順で等比数列をなし，\(a_2,a_3,a_4\)はこの順で等差数列をなす． また，\(a_1+1,a_2+2,a_3+2\)はこの順で等差数列をなし，\(a_2+2,a_3+2,a_4+3\)はこの順で等比数列をなす． このとき，…

// // 「同じ分布を持つ確率変数\(X，Y\) について、\(X\) と\(Y\) の相関係数が\(0\) ならば\(X\) と\(Y\)は互いに独立である」について，正しければ理由を説明し，間違っているなら反例を示しなさい． ★用語の定義と意味を正しく理解できていないと間違え…

// // ○×式の問題が\(2N\) 問ある．そのうち，\(N\) 問は○が正解であり，残り\(N\) 問は×が正解であるとする．解答者が無作為に\(N\) 問に○を，残り\(N\) 問に×を解答する．このとき，正解数が\(k\) 問\((0 \leqq k \leqq 2N)\)となる確率を\(p_k\) を求めよ…

次の図の斜線の部分の面積は，一番大きな直角三角形の面積の何倍になるかを答えなさい。 ★正三角形が大活躍します★

// // 白い正方形のタイルを縦に\(x\)枚，横に\(y\)枚並べて，長方形ABCDを作り，対角線ACを引き，ACが通ったタイルを赤く塗る．全体のタイルの枚数に対する，赤く塗ったタイルの枚数の割合を「赤率」と呼ぶことにする．図１の赤率は\(\displaystyle \frac{2…

// // \(f(n)=n\)を\(7\)で割った余り， \(g(n)=3f\left(\displaystyle \sum^7_{k=1}k^n\right)\) によって定める． あなたの好きな自然数\(n\)を一つ決めて\(g(n)\)を求めよ．その\(g(n)\)を値をこの設問におけるあなたの得点とする． ★実際は\(f(n^7)=f(n)…

// // 下に示す【問題】に対して，ある生徒が次のような《解答》を示した．この《解答》は正しい結果を導いているが，説明不足の部分がある．それはどの部分か指摘せよ．また，結果として正答に至った理由を考察せよ． 【問題】 初項が\(1\)，公差が正の整数…