// 楕円 \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) （\(a\)，\(b\)は正の定数） について，この楕円を\(x\)軸の周りに回転させてできる楕円体に内接する直方体のうち，その体積が最大となるものの体積を求めなさい． ★安易に立方体と思わないこ…

// 空間座標系で，\(x=0\)，\(y=0\)，\(z=0\)， \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq1\) をみたす点の集合の作る立体の体積を求めよ． ★思ったより小さい★

// 次の【 】に当てはまるものを，下の①～③のうちから一つ選べ． \(\rm \triangle ABC\)において\(\cos A \cos B \cos C=0\)であることは，\(\rm \triangle ABC\)が直角三角形であるための【 】． ① 必要条件であるが，十分条件ではない ② 十分条件であるが…

// ５つの枠全部に\(\bigcirc\)か\(\times\)を１つずつ，次の規則にしたがって書きこみます． 規則１ \(\bigcirc\)が\(\times\)より多い． 規則２ ３つ以上同じものは続かない． このとき，異なる書き方は何通りありますか． ★\(\times\)の位置だけ考えれば★

水戸黄門，助さん，格さん，弥や七，お銀，八兵衛の６人が左から右へこの順番で１列に並んで座っている．６人が席を入れ換える．どの並びかたも同様の確からしさで起こるものとする．このとき，最初と同じ席に座る人がいない確率を求めよ． ★設定のわりに結…

// 図は\(\rm AB=AC\)の二等辺三角形であり，\(\rm \angle B\)の４等分線と辺\(\rm AC\)との交点を\(\rm A\)から近い順に，\(\rm D\)，\(\rm E\)，\(\rm F\)とする．\(\rm AE=BE=BC=2\)のとき，\(\rm EF\)の長さを求めよ． ★いきなり黄金比★

\(z=x+yi\)（ただし\(x\)，\(y\)は実数）とし，\(\cos z\)の実部と虚部を\(x\)，\(y\)で表せ． ★微妙にひっかけ★ //

// 次の行列式の値を求めよ． \(\left| \begin{array}{ccc} 1 & 12 & 123 \\ 12 & 123 & 1234 \\ 123 & 1234 & 12345\\ \end{array} \right|\) ★何かありそうな予感がしますか？★

立方体のサイコロの各面を塗ることを考えます．赤色で１面，青色で２面，黄色で３面を塗る方法は何通りありますか．ただし，回転や反転により重なるものは同じものとみなします． ★270人くらいで正解者は２名★

図の色のついた部分の面積を求めなさい． ★外側の正方形は無意味ではない★

// ３点\(\rm A \left( 6,0,0 \right) \)，\(\rm B \left( 0,6,0 \right) \)，\(\rm C \left( 0,0,6 \right) \)の定める平面を\(\alpha\)とする．原点\(\rm O\)を通り平面\(\alpha\)に直交する直線と\(\alpha\)との交点を\(\rm H\)とする．また，線分\(\rm H…

// 図において，\(\rm \triangle ABC \equiv \triangle BED\)，\(\rm \angle ABF = 28^{\circ}\)，\(\rm \angle CFE = 122^{\circ}\)のとき，\(\rm \angle FCD\)の大きさを求めなさい． ★合同である必要は？★

// \(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{e^x-1} dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+1}\)であることを示せ． ★形が美しい★

// // カージオイドと呼ばれる極座標形式で表された曲線 \(r=1+\cos \theta \) について，曲線の概形を図示せよ．ただし，作図の根拠も示せ． ★「作図の根拠」をどう解釈しましょうか★

２時から３時の間で，長針と短針が６時の目盛りをはさんで左右対称の位置になる時刻はそれぞれ２時何分ですか． ★時計の問題って21世紀になってもアナログ前提★

// \(a\)を正の実数とするとき， 極限値 \(\displaystyle b=\lim_{n→\infty} \frac{\left( n+1 \right)^a + \left( n+2 \right)^a + \cdots + \left( n+n \right)^a}{1^a + 2^a + \cdots + n^a}\) を求めよ． ★そもそも収束することにビックリ★

// 図のような四角形\(\rm ABCD\)の内部に四角形\(\rm EFGH\)があり，それぞれ，点\(\rm E\)は\(\rm AH\)の中点，点\(\rm F\)は\(\rm BE\)の中点，点\(\rm G\)は\(\rm CF\)の中点，点\(\rm H\)は\(\rm DG\)の中点になっている．このとき，四角形\(\rm ABCD\)…

// \(503\)は素数であることを示せ． ★ある意味センスが必要かも★

// 次の無限級数の和\(S\)を求めよ． \(\displaystyle S=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\cdots+\frac{n}{\left( n+1 \right)!}+\cdots\) ★なまじ\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}=e\)を知っているとハマる？★

// // \(a\)を\(b\)で割った余りを\(\left< a , b \right>\)と表します．例えば，\(\left< 5 , 2 \right>=1\)，\(\left< 10 , 4 \right>=2\)です． \(\left< 91 , 2 \right> \times \left< 91 , 3 \right> \times \left< 91 , 4 \right> \times \left< 91 , …

// // 自然数\(a\)の正の約数の中で\(a\)以外のものの和が\(a\)に等しいとき，\(a\)を完全数という．\(a\)が偶数で完全数ならば，ある自然数\(n\)に対して\(a=2^{n-1} \left( 2^n-1 \right) \)と表されることを示せ． ★奇数の完全数はあるのでしょうか★

// // ３辺が\(13 \rm cm\)，\(14 \rm cm\)，\(15 \rm cm\)の三角形の面積を求めなさい． ★ヘロンの公式を使いそうになりますが\(\cdots\)★

// 二重実数列\(\{ a_{m,n} \}^{\infty}_{m,n=1} \)は次の条件をみたすとする． \(\left\{ \displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle 任意の整数n \geq 1に対して，ある\alpha_{n} \in \mathbb{R} が存在して \lim_{m \to \infty} a_{m,n}=\alpha_n \\ …

// ２つの円柱面 \(y^2+z^2=1\)，\(z^2+x^2=1\)で囲まれた部分の体積を求めよ． ★円柱を直交させた体積は気になるところ★

3600本の鉛筆を同じ本数のいくつかの束に分けます．【 】本ずつの束に分けた場合と比べると，１束の鉛筆を３本ずつ減らした場合の方が，束の数がは60だけ増えます．【 】にあてまはる数を書き入れなさい． ★深く考えずに3600の約数を列挙する★

// \(1\)，\(2\)，\(\cdots\)，\(n\)の相異なる２数の積のすべての和を\(S \left( n \right)\)とする．たとえば，\(S \left( 3 \right)=1 \times 2+1 \times 3+2 \times 3=11\)である．\(S \left( n \right)\)を\(n\)の４次式で表せ． ★重複の処理を正しくで…

// \(2\)以上の自然数\(N\)について，次の規則に従って計算していく．計算結果が\(1\)になったとき計算することをやめることにする． 規則１ 計算する数が偶数ならば\(2\)で割る． 規則２ 計算する数が奇数ならば\(1\)を加える． 例えば\(N=4\)のとき， \(4 …

// 自然数\(n\)に対して， \(\displaystyle I_n=\int_{0}^{1} \frac{1}{\left( x^2+1 \right)^n}dx\) と定義する．\(2\)以上の自然数\(n\)に対して， \(\displaystyle I_n=\frac{1}{\left( n-1 \right)2^n}+\frac{2n-3}{2 \left( n-1 \right)}I_{n-1}\) が成…

// トリエンフルエンザに感染している鳥の鳥全体に対する割合を\(r \left( 0 \leq r \leq 1 \right) \)とする．ある検査法を用いると， 感染している鳥は確率\(p\)で陽性と判定される．一方，感染していない鳥は確率\(q\)で陽性でないと判定される．\(p=0.99…

// \(a\)※\(b\)を \(a\)と\(b\)の最小公倍数 と約束します． このとき，\(18※(12※8)\)を求めなさい． ★カッコは必要ないのですが約束演算の問題だから仕方ない★