2016-01-01から1年間の記事一覧
// // \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n\)の極限値を求めよ.ここで,\(\displaystyle a_n = 2 + \frac{2}{a_{n-1}}\),\(a_0 = 2\)とする. ★順序立てた演繹が必要★
// // ボールが\(48\)個あります.これらのボールを以下の条件1,2にあてはまるように,5つの箱に入れることにします. (条件1)どの箱にもボールが5個以上入れます.(条件2)どの2つの箱についても,入っているボールの数の公約数は1だけです. …
// // \(a > 0 \)とする.項数\(3\)の2つの有限数列 \(4\),\(a\),\(b\) および \(b\),\(c\),\(36\) はともに等比数列であり, \(a\),\(b\),\(c\) は等差数列とする.このとき,\(a\),\(b\),\(c\)の値を求めよ. ★パズル的に解いたほうが早い?★
// // 1個のさいころを振り続け,出た目の和が\(9\)以上になって時点でやめます.ちょうど2回ふったところでやめる確率を求めなさい. ★話題のすり替え★
// // 極限\(\displaystyle \lim_{x \to +0} x^x\)を求めよ.ただし,\(x\)は実数とする. ★\(0^0\)の一解釈?★
// // 方程式\(x^4 − 4kx^3 + 3 = 0 \)が実数解を持つような,実定数\(k\)の値の範囲を求めよ. ★じつは場合分けが不要★
// // 図は縦\(\rm 9 cm\),横\(\rm 3 cm\)の長方形\(\rm ABCD\)を頂点\(\rm B\)が頂点\(\rm D\)に重なるように折ったものです.このとき,三角形\(\rm DFG\)の面積は何\(\rm cm^2\)ですか. ★キレイですね.★
// // 集合\(\displaystyle \Bigl \{ \left. \frac{n}{m} \right | m , n \)は \(m + n \leqq 6 \)を満たす自然数\(\Bigl \} \)の要素の個数はいくつか. ★油断大敵★
// // 図のように,関数\(y=ax^2\ \cdots\) ① のグラフ上に2点\(\rm A\),\(\rm B\)があり,それぞれの\(x\)座標は\(-4\),\(6\)である.また,この2点を通る直線の傾きは\(1\)である. ① のグラフ上に点\(\rm P\)をとる.点\(\rm A\)から点\(\rm B\)まで…
// // \(p_1\),\(p_2\),\(p_3 \in \mathbb{R}^2\)を相異なる点とし,\(g:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\)を\(\displaystyle g(x) = \sum_{i=1}^{3} \| x - p_i \| ^4 \)で定める.\(g\)は最小値を唯一の点でとることを示せ. ★2直線の交点は1つというこ…
// // \(\displaystyle \int \frac{1}{x^2+1} dx = \frac{x}{x^2+1} + \int \frac{2x^2}{(x^2+1)^2} dx\)が成り立つ理由を説明せよ. ★「部分積分法より」で正解になるか疑問?★
// // 「\(\rm A\)から\(\rm B\)までのすべての整数の和」を\(\rm A ★ \rm B\)と表すことにします.例えば,\(1 ★ 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\),\(3 ★ 5 = 3 + 4 + 5 = 12\)となります.このとき,\(\rm B\)をいろいろと変えることによって,\(1 ★ \rm B\)の値…
// // 2次の正方行列\(A\),\(B\)について次の2つの条件を満たし,\(A \neq B\)である\(A\),\(B\)の例を1組あげよ(\(O\)は零行列を表す). (a) \(A^3 B^2 - A^2 B^3 = O \) (b) \(A^2 \neq O \)かつ\(B^2 \neq O \) ★\(A^2 = A \)かつ\(B^2 = B \)★
// // 図の円において,\(\rm P\),\(\rm Q\)は弧\(\rm AB\)を3等分し,\(\rm R\),\(\rm S\)は弧\(\rm CA\)を3等分する点である.\(\angle \rm P B S\)は何度か. ★難しくないのに案外解けない★
// // \(a\),\(b\)を実数とする.\(\mathbb{R}\)上の\(C^2\)級関数\(F(x,y)\)に対し,極限 \(\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{F(ta,tb) + F(-ta,-tb) - 2F(0,0)}{t^2}\) を求めよ. ★\(C^2\)級な2変数関数とは?★
// // \(n\)を自然数とする.\(\displaystyle I_n = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin nx}{\sin x} dx\) を求めよ. ★\(I_{n+2} = I_n\)★
// // \(1.8 \ell\)のペットボトル\(50\)本を\(\rm 500 m \ell\)のペットボトルに入れていくと何本になりますか. ★ニホンゴオカシクナイデスカ★
// // \(a>0\),\(a \neq 1\)のとき,不等式 \(a^{2x-1}-a^{x+2}-a^{x-3}+1 \leqq 0\) をみたす\(x\)の範囲を求めよ. ★この単純な問題が解けないものです★
// // 縦\(\rm 30 cm\),横\(\rm 45 cm\)の長方形縦\(\rm ABCD\)がある.図のように,辺\(\rm BC\)上の点\(\rm O\)を中心とする半径\(\rm 30 cm\)のおうぎ形\(\rm OBE\)をかくとき,弧\(\rm BE\)の長さを求めなさい. ★設定がもったいない★