// // ある試験を\(50\)人が受け，得点の高い順に\(10\)人が合格した．合格者の平均点は不合格者の平均点より\(15\)点高く，受験者全体の平均点が\(50\)点であるとき，この試験での合格者の平均点は何点であったか． ★不合格者全員に\(15\)点ゲタを履かせれ…

// // \(7\)と\(8\)をいくつかたしていろいろな整数を作ります．ただし，\(7\)だけをたしても，\(8\)だけをたしてもかまいません．たとえば， \(7+7=14\) \(7+8=15\) \(8+8=16\) \(7+7+8=22\) などを作ることができます．\(7\)と\(8\)をどのようにたしても作…

// // 以下の４つの数のうち，１番大きな数と１番小さな数はどれか． \(7^{777}\)，\(10^{7 \log _{10}7}\)，\(7^{(7^7)}\)，\(7777777\) ★大穴炸裂？★

// // \(\rm \triangle ABC\)の外接円の弧\(\rm BC\)の中点を\(\rm M\)とする．\(\rm M\)を中心とし，半径\(\rm BM\)の円と線分\(\rm AX\)との交点を\(\rm X\)とすると，\(\rm X\)は\(\rm \triangle ABC\)の内心となることを証明せよ． ★単純なのに面白い★

// // \(\{ a_n \}\)は各項が実数である数列とする．級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|\) が収束するならば，\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (a_n)^2\)は収束することを示せ． ★やはり無限級数の和は部分和の極限★

// // 次の極限値を求めなさい． \( \displaystyle \lim_{n \to 0} \frac{a^x-b^x}{x}\) （ただし，\(a\)，\(b\)は定数） ★指数と対数は表裏一体★

// // ３つの整数\(\rm A\)，\(\rm B\)，\(\rm C\)は，それぞれ\(1\)から\(100\)までの異なる整数です．\(\rm A\)，\(\rm B\)，\(\rm C\)について，次の【あ】から【お】のことがわかっています． 【あ】\(\rm A\)と\(\rm C\)の最大公約数は\(9\)です． 【い…

// // \(2n\)個の白玉と\(n\)個の赤玉をでたらめに並べる．円周状に並べるときに赤玉どうしが隣り合わない確率を求めよ． ★判断に困る問題ですね…★

// // 図に示した線分\(\rm AB\)をもとにして，\(\rm AB=BC\)，\(\rm \angle ACB=30°\)となる二等辺三角形\(\rm ABC\)の頂点\(\rm C\)を１つ，定規とコンパスを用いて作図によって求め，頂点\(\rm C\)の位置を示す文字\(\rm C\)も書け．ただし，作図によって…

// // \(G\)を群とし，\(H_1\)と\(H_2\)を\(G\)の部分群とする．\(H_1 \cup H_2=G\)ならば，\(H_1=G\)または\(H_2=G\)となることを証明せよ． ★群というものを理解していれば当然なのだが…★

// // ある工業製品の故障の発生時間\(X\)は，次式の確率密度関数をもつ指数分布に従っているという． \( f(x)= \left\{ \begin{array}{l l} 0 & (x<0) \\ 0.0005e^{-0.0005x} & (x \geq 0) \end{array} \right. \) この製品が\(2000\)時間以内に故障が発生…

// // 半径\(\rm 12cm\)の円を４等分した図形に，図のように\(\rm A\)，\(\rm B\)，\(\rm C\)，\(\rm D\)，\(\rm E\)をとりました．このとき，\(\rm CD\)の長さは何\(\rm cm\)になりますか． ★条件過多がいいスパイスになっている★

// // 次のような競技を考える．競技者がサイコロを振る．もし，出た目が気に入ればその目を得点とする．そうでなければ，もう１回サイコロを振って，２つの目の合計を得点とすることができる．ただし，合計が\(7\)以上になった場合は得点は\(0\)点とする．…

// // \(x+y+z=0\)のとき，\(\displaystyle \left( 1+\frac{z}{x} \right) \left( 1+\frac{z}{y} \right)\)の値を求めよ．ただし，\(x\)，\(y\)，\(z\)は\(0\)でない数とする． ★むやみに式を展開してはいけないというやつです★

// // 集合\(X\)，\(Y\)，\(Z\)と，\(X\)から\(Y\)への写像\(f\)， および\(Y\)から\(Z\)への写像\(g\)があるとき，合成写像\(g \circ f\) が全単射であるが，\(f\)，\(g\)のいずれも全単射ではないような例を作れ． ★恒等写像は全単射★

// // \(x\)の２次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の解が， \(\displaystyle x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) で与えられることを説明（証明・解説）せよ． ★高校の教科書どおりにやる必要はないはずです★

// // 次の\(\displaystyle □\)にあてはまる数を入れなさい． 分子が\(12\)で，これ以上約分できない分数のうち最も\(0.21\)に近い数は\(\displaystyle \frac{12}{□}\)である． ★分母にくる数の比較は慎重に★

// // 正の整数\(n\)で\(n^n+1\)が\(3\)で割り切れるものをすべて求めよ． ★\(3\)を法としてダメなら法とする数を大きくすれば★

// // 図の\(\rm \triangle ABC\)において，\(\rm AB=AC=13cm\)，\(\rm BC=10cm\)，\(\rm AD:DB=BE:EC=CF:FA=2:1\)である．\(\rm AE\)と\(\rm BF\)の交点を\(\rm G\)，\(\rm BF\)と\(\rm CD\)の交点を\(\rm H\)，\(\rm CD\)と\(\rm AE\)の交点を\(\rm I\)と…

// // 閉区間 \(I=[0,1]\)と単位円周 \(S=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2=1 \}\)を考える．連続写像 \(f:I \to S\)で\(f(I)=S\)となるものの例をあげよ． ★単射な写像は作れない★

// // 図は，たて\(\rm 3 cm\)，横\(\rm 4 cm\)，対角線の長さが\(\rm 5 cm\)の２つの長方形を，対角線が重なるように置いたものです．２つの長方形が重なった斜線部分の面積は何\(\rm cm^2\)ですか． ★\(7:24:25\)の直角三角形は無視しましょう★

// // 数列\(\{a_n\} \)を，次の条件(i)および(ii)をみたすように定める． (i) \(a_1=0\)，\(a_2=3\) (ii) \(3\)以上の自然数\(n\)に対して，第\(\left( n-1 \right)\)項\(a_{n-1}\)が初項\(a_1\)から第\(\left( n-2 \right)\)項\(a_{n-2}\)までのどの項の値…

// // 十の位が\(2\)，一の位が\(5\)の４桁の自然数\(n\)がある．\(n\)の千の位の数字と百の位の数字をこの順番に並べて２桁の自然数を作る．また，十の位の数字と一の位の数字をこの順番に並べて２桁の自然数を作る．例えば\(n\)が\(2825\)であれば，\(28\)…

// // 集合\(X\)の２点\(P\)，\(Q\)に対して， \(d\left( P,Q \right) =\left\{ \begin{array}{c} 0 \left( P=Q \right) \\ 1 \left( P\neq Q \right) \end{array} \right. \) とおくと，この\(d\left( P,Q \right)\)は距離の公理を満たすことが知られている…

// // 実数\(x\)が\(\displaystyle 0

// // 与えられた分数に対して，次のような操作を行います． 操作\(\rm A\)：分数の分子と分母を入れかえる． 操作\(\rm B\)：分数に\(1\)を加える． 操作\(\rm C\)：分数に\(2\)をかける． 操作\(\rm D\)：分数を\(3\)で割る． 例えば，\(\displaystyle \fr…

// // 点\(\rm O\)を中心とする半径\(1\)の円周上に２点\(\rm A\)，\(\rm B\)をとり，\(\angle \rm AOB=2\theta\)とする．\(\theta\)の範囲を\(\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}\)とするとき，\(\rm \triangle AOB\)の内接円の半径の最大値を求めよ． ★…

// // \(p\)を\(3\)以上の素数とする．自然数\(4p\)のすべての正の約数の和が\(8p\)であるとき，\(p\)の値を求めよ． ★完全数ですな★

// // \(f: \left[ 0 , \infty \right) \to \mathbb{R}\)を連続関数とする．\(0 \leq a < b\)なるある実数\(a\)，\(b\)に対し,\(\left[ a, b \right]\)上で\(f(x)\geq 0\)であり，\(\displaystyle \int_a^b f(x) dx=0\)ならば，\(\left[ a, b \right]\)上で\…

// // 数列\(\{ a_n \}\)において，\(a_1=a_2=1\)，\(a_{n+2}=a_n+a_{n+1}\)である．\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)とおくとき，\(S_n\)と\(a_{n+2}\)の間に成り立つ関係式を推定せよ．また，推定した関係式を数学的帰納法によって証明せよ． ★「推定せよ」と言…