// // \(p\)，\(q\)は正の有理数で，\(\sqrt{q}\)は無理数であるとする．自然数\(n\)に対し，有理数\(a_n\)，\(b_n\)を \(\left( p+\sqrt{q} \right)^n = a_n+b_n \sqrt{q}\) によって定める． \(\displaystyle \lim_{n→\infty} \frac{a_n}{b_n}=\sqrt{q}\) …

// // 図のように，\(\rm OA=OB=OC=OD=2\it a\)，\(\rm AB=BC=CD=DA=\it a\) の正四角錐\(\rm OABC\)は，辺\(\rm OA\)が床に垂直になるように置かれている．いま，床に真上から垂直に光があたっている．床にできた四角錐\(\rm OABC\)の影の面積を求めよ． ★…

// // \(n\)次正方行列\(L_n\)の第\(i\)行と第\(j\)列の交点にある成分を\(\ell_{ij}\)とする． \(\ell_{ij}=\left\{ \begin{array}{c} 1 (i \leqq j) \\ 0 (i>j) \end{array} \right. \) のとき，\(L_n\)の逆行列\(L^{-1}_n\)を求めよ． ★式をきれいに表現…

// // １辺の長さが\(a\)の正四面体がある．ねじれの位置にある１組の対辺のそれぞれの中点を結んだ線分の長さを\(b\)とするときの\(a:b\)の比を求めよ． ★さまざまな解き方がありそう★

// // ある100 円ショップでは，５本入りのボールペンセットとして，Ａ社製とＢ社製の２種類を調達している．全体の\(60\)%を調達しているＡ社製のボールペンセットに不良品が含まれている確率は\(0.01\)であり，残りの\(40\)%を調達しているＢ社製のボール…

// // 直径\(10 \rm cm\)の円の中に，同じ大きさの正方形が５つぴったりおさまっています．この正方形１つの面積は何\(\rm cm^2\)ですか． ★補助線を引にて対角線が\(10 \rm cm\)の正方形をつくる★

// // 虚数\(\alpha=a+bi\)に対し虚数\(\alpha=a-bi\)のことを何というか． ★ひらがなでかかせたい★

// // \(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)の４個の数字から異なる３個の数字を選んで，３桁の整数をつくるとき，素数が１つできる．その素数を求めよ． ★８つの奇数のうちの１つが素数★

// // \(f(x)\) はすべての実数で定義された何回でも微分可能な関数で， \(f(0)=1\)， \(f'(0)=-1\)，\(f''(0) = 1\) かつ 相異なる実数\(u\)，\(v\)に対して等式 \(\displaystyle \frac{f(u)-f(v)}{u-v}=f' \left( \frac{u+v}{2} \right) \) を満たしている…

// // ２つの自然数\(m\)，\(n\)の最大公約数を\(G\)，最小公倍数を\(L\)とします． \(\left\{ \begin{array}{c} 2\log_{3}L-\log_{3}G=4+5\log_{3}2 \\ \log_{2}L+\log_{2}G=7+2\log_{2}3 \end{array} \right. \) が成り立つとき，\(m\)，\(n\)を求めなさい…

// // 同じ大きさの黒と白の立方体が４個ずつあります．これらを図のように積んで，立方体をつくります．この立方体を，４点\(\rm A\)，\(\rm B\)，\(\rm C\)，\(\rm D\)を通る平面で切ったときの切り口の形をかき，黒い立方体の切り口になっている部分は黒…

// // \(17028\)を２つの３桁の整数の積として表せ． ★素因数分解から考える問題の一例★

// // \(25^2-24^2+23^2-22^2+\cdots \cdots+3^2-2^2+1^2-0^2\)の値を求めなさい． ★２種類の計算のくふう★

// // 級数\(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n}\)の和から\(n\)に\(0\)の文字が入った項，例えば，\(\displaystyle \frac{1}{10}\)，\(\displaystyle \frac{1}{20}\)，\(\cdots \)，\(\displaystyle \frac{1}{100}\)，\(\displaystyle \frac{1}…

// // \(n\)を\(2\)以上の整数とするとき，分数\(\displaystyle \frac{14n+3}{15n+2}\)が可約分数(分母，分子が約分できる分数)となるような\(n\)の一般形を求めなさい．また，そのときこの分数を約分して既約分数とした分数を求めなさい． ★既約分数である…

// // \(0\)から整数を順に，１回ずつ読み上げます．このとき，読み上げた整数が\(3\)の倍数か，または百の位，十の位，一の位の少なくともどれか１つが\(3\)である場合は，読み上げながら１回手をたたくことにします． \(0\)から\(400\)までの整数を順に読…

// // \(2^{555}\)は十進法で表すと168桁の数で，その最高位（先頭）の数字は\(1\)である．集合\(\{ 2^n \mid nは整数で1 \leqq n \leqq 555 \} \)の中に，十進法で表したとき最高位の数字が\(4\)となるものは全部で何個あるか． ★\(2^{10}=1024\)が使えそう★

// // ４つの数字\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)を並び替えてできる４けたの数を\(m\)，\(m\)の各位の数を逆順に並べてできる４けたの数を\(n\)とすると，\(m+n\)は必ず\(p\)の倍数となる． このような\(p\)のうち，最も大きな整数を求めよ． ★\(3\)，\(4\)，\(…

// // \(n\)個の数\(x_1\)，\(x_2\)，\(\ldots\)，\(x_n\)の最大値を\(\rm max\) \(\left( x_1,x_2,\ldots,x_n \right) \)で表す．例えば，\(\rm max\) \( \left( 1,2 \right) = 2\) ，\(\rm max\) \( \left( 3,1,3 \right) = 3\) である．同様に\(\rm min\)…

// // 数字が書かれた６枚のカード\(\fbox{1}\)，\(\fbox{2}\)，\(\fbox{3}\)，\(\fbox{4}\)，\(\fbox{5}\)，\(\fbox{6}\)と，記号が書かれた１枚のカード\(\fbox{X}\)がある．これら７枚のカードを無作為に横一列に並べたとき，\(\fbox{X}\)の左側に並んだ…

// // 図は半径\(6 \rm cm\)の半円の紙を，円周上の点が直径のまん中の点を通るように折り曲げたものです．斜線部分の面積を答えなさい．ただし，円周率は\(3.14\)とします． ★求めやすい形に等積変形★

// // \(a-b-8\)と\(b-c-8\)が素数となるような素数の組\(\left( a,b,c \right)\)をすべて求めよ． ★素数ファンにはたまらない★

// // 原点を\(\rm O\)とし，\(x\)軸上の正の部分を動く点\(\rm P\)と，放物線 \(y= \displaystyle \frac{1}{2}x^2 \)上を動く２点\(\rm Q\)，\(\rm R\)があります． ３点\(\rm P\)，\(\rm Q\)，\(\rm R\)の\(x\)座標はすべて異なり，点\(\rm P\)の\(x\)座標…

// // 次の定積分を計算せよ．ただし，\(n\)は\(2\)以上の整数である． \(I= \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{dx}{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}\) ★パスカルの三角形？★

// // 図のように，円\(\rm O\)の半径\(\rm OA\)を対角線とする正方形がある．円の面積はこの正方形の面積の何倍か．ただし，円周率は\(3\)として計算する． ★円周率が\(3\)ということは円は正六角形ですね★

// // 次の\(\fbox{ ア }\)，\(\fbox{ イ }\)，\(\fbox{ ウ }\) にあてはまる\(1\)から\(9\)までの整数を答えなさい． \(3×5×5×5+4×5×5+2×5+1\)＝ \(\fbox{ ア }×\fbox{ ア }×\fbox{ ア }+\fbox{ イ }×\fbox{ ア }×\fbox{ ア }+\fbox{ ウ }×\fbox{ ア }+3\) …

// // 初項\(a\)，公差\(17\)の等差数列 \(a\)，\(a+17\)，\(a+34\)，\(a+51\)，\(\cdots\)を考えます． この等差数列において値が\(1000\)以下の項の和を\(S \left( a \right) \)とします． \(S \left( a \right) \)の最大値とそのときの\(a\)の値はいくつ…

// // 図のように，半径\(\sqrt{2}\)の円に内接する四角形\(\rm ABCD\)がある．\(\rm AB= \sqrt{2}\)，\(\rm AD= 2\)，\(\rm CD= 1+\sqrt{3}\)とし，対角線\(\rm AC\)と\(\rm BD\)の交点を\(\rm E\)とするとき，\(\rm AE\)の長さを求めなさい． ★条件設定が…

// // \(n\)次実正方行列\(A=[a_{ij}]\)は，どの行についても\(\displaystyle \sum^n_{j=1}a_{ij}=1\)とする．\(1\)は\(A\)の固有値であることを示せ． ★\(1\)が固有値であるとは？★

// // 次の式の値を求めよ． \(\displaystyle \frac{86^2-2 \times 86 \times 77 +77^2}{15^2}+\frac{31^2+2 \times 31 \times 13 +13^2}{55^2}\) ★この問題を作った人のセンスを感じる★