// // \(a > 0 \)とする．項数\(3\)の２つの有限数列 \(4\)，\(a\)，\(b\) および \(b\)，\(c\)，\(36\) はともに等比数列であり， \(a\)，\(b\)，\(c\) は等差数列とする．このとき，\(a\)，\(b\)，\(c\)の値を求めよ． ★パズル的に解いたほうが早い？★

// // 集合\(\displaystyle \Bigl \{ \left. \frac{n}{m} \right | m , n \)は \(m + n \leqq 6 \)を満たす自然数\(\Bigl \} \)の要素の個数はいくつか． ★油断大敵★

// // ２次の正方行列\(A\)，\(B\)について次の２つの条件を満たし，\(A \neq B\)である\(A\)，\(B\)の例を１組あげよ（\(O\)は零行列を表す）． (a) \(A^3 B^2 - A^2 B^3 = O \) (b) \(A^2 \neq O \)かつ\(B^2 \neq O \) ★\(A^2 = A \)かつ\(B^2 = B \)★

// // \(a>0\)，\(a \neq 1\)のとき，不等式 \(a^{2x-1}-a^{x+2}-a^{x-3}+1 \leqq 0\) をみたす\(x\)の範囲を求めよ． ★この単純な問題が解けないものです★

// // \(n\)を自然数とする．\(\rm A\)，\(\rm B\)，\(\rm C\)，\(\rm D\)，\(\rm E\)の５人が１個のボールをパスし続ける．最初に\(\rm A\)がボールを持っていて，\(\rm A\)は自分以外の誰かに同じ確率でボールをパスし，ボールを受けた人は，また自分以外…

// // ２つのサイコロ\(\rm A\)，\(\rm B\)をふって出た目をそれぞれ\(a\)，\(b\)として次の式 \(\displaystyle \left( ax^2 + \frac{b}{x} \right)^5\) の展開式を考える．\(x^7\)の係数よりも\(\displaystyle \frac{1}{x^2}\)の係数のほうが大きくなる確率…

// // \(1\)から\(9\)までの数字を１つずつ書いた９枚のカードがある．これらのカードをよくきって左から１列に並べ，左から\(n\)枚目までのカードに書かれた数の和を\(S_n\)とするとき，\(S_1\)，\(S_2\)，\(\cdots\)，\(S_9\)のいずれかが\(11\)となる確率…

// 三辺の長さ\(x\)，\(y\)，\(z\)がすべて自然数であり，\(x+y+z=100\)，\(1 \leqq x \leqq y \leqq z\)を満たす三角形について考える．ただし，合同な三角形は問一視して考える．与えられた条件を満たす三角形は全部で何個あるか． ★上手な融合問題ですね★

// \(n \geqq 2\)であるような自然数\(n\)に対して \(1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + \cdots \cdots + (n - 1) \times n \times (n + 1 )\) \(= (1 + 2 + 3 + \cdots \cdots + n)(2 + 3 + \cdots \cdots + n)\) が成り立つことを示せ． ★左辺…

// 楕円\(\displaystyle \frac{x^2}{17}+\frac{y^2}{8}=1\)の外部の点\(\rm P \left ( \it a , b \rm \right )\)からひいた２本の接線が直交するような点\(\rm P\)の軌跡を求めよ． ★最後まで気が抜けない★

// 夫婦と子供１人の３人家族が新車を購入することになった．車体の色を決める際，父親は白，母親と子供は赤と意見が分かれた．したがって，以下に述べる方法を用いて車体の色を決定することにした．まず，中身の見えない袋の中に白球１個と赤球２個を入れる…

// \(n\)を自然数とするとき，\(\left( 2 - \sqrt{3} \right) ^n\)は，\(\sqrt{m} - \sqrt{m - 1}\)（\(m\)は自然数）の形で表されることを示せ． ★共役なものまで含めて考えるとキレイなのかな？★

// \(a\)を正の定数とする．次の等式が成り立つとき，\(\log a\)の値を求めよ．\(\displaystyle \frac{\displaystyle \int_{1}^{e} \log \left( ax \right)dx}{\displaystyle \int_{1}^{e} xdx}=\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{\log \left( ax \right)}{x…

// \(n\)を自然数とする．実数\(x\)に対し，\(x\)を超えない最大の整数を\([x]\)で表す．数列\(\{ a_n \} \)が \( a_n = [ \sqrt{n} ] \) で定められ， \(\displaystyle S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n \)とするとき，次の等式を証明…

// １辺の長さが\(1\)の立方体がある．この立方体の８個の頂点のうちの４個を頂点とする正四面体と，残りの４個を頂点とする正四面体の共通部分を求めよ． ★該当しない部分を除外していくと特別な立体になる★

// \(xy\)平面で\(x\)座標と\(y\)座標がともに自然数であるような点\(\left ( m , n \right ) \)の各々に，自然数\(a\left ( m , n \right ) \)が割り当てられている．\(a \left ( 1 , 1 \right ) = 1 \)であり，すべての\(m\)，\(n\)に対して次の規則が成り…

// 実数\(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\) が，\(\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\)，\(\displaystyle 0 < \beta < \frac{\pi}{2}\)，\(\displaystyle 0 < \gamma < \frac{\pi}{2}\)，\(\displaystyle \alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}\)…

\(\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{n} \left( x^k \right)^k\)とする．微分係数\(f'(1)\)を\(n\)で表せ． ★基本事項を題材にした作問上手★ //

ある部活動では， ２年生男子３名，３年生男子３名，２年生女子４名，３年生女子2名が合宿に参加する．合宿所には，定員４名の部屋と定員２名の部屋が１室ずつ，定員３名の部屋がが２室用意されている．ただし，男子生徒と女子生徒は向じ部屋には泊まらない…

// // 次の連立方程式を満たす実数の組\(\left( x , y \right)\)をすべて求めなさい． \(\left\{ \displaystyle \begin{array}{l} -9x^2+4x+3y^2=0 \\ 3xy-5y=0 \end{array} \right. \) ★冷静に見ればわりと簡単★

// \(M= \{ 1 , 2 , \cdots \cdots \} \)を\(1\)から\(n\)までの自然数の集合，\(f\)を\(M\)から\(M\)への写像とし， \(f_1=f\)，\(f_2 = f \circ f_1 = f \circ f \)，\(f_3 = f \circ f_2 = f \circ f \circ f \)，\(\cdots \cdots\)，\(f_k = f \circ f_{…

水戸黄門，助さん，格さん，弥や七，お銀，八兵衛の６人が左から右へこの順番で１列に並んで座っている．６人が席を入れ換える．どの並びかたも同様の確からしさで起こるものとする．このとき，最初と同じ席に座る人がいない確率を求めよ． ★設定のわりに結…

// ３点\(\rm A \left( 6,0,0 \right) \)，\(\rm B \left( 0,6,0 \right) \)，\(\rm C \left( 0,0,6 \right) \)の定める平面を\(\alpha\)とする．原点\(\rm O\)を通り平面\(\alpha\)に直交する直線と\(\alpha\)との交点を\(\rm H\)とする．また，線分\(\rm H…

// \(a\)を正の実数とするとき， 極限値 \(\displaystyle b=\lim_{n→\infty} \frac{\left( n+1 \right)^a + \left( n+2 \right)^a + \cdots + \left( n+n \right)^a}{1^a + 2^a + \cdots + n^a}\) を求めよ． ★そもそも収束することにビックリ★

// // 自然数\(a\)の正の約数の中で\(a\)以外のものの和が\(a\)に等しいとき，\(a\)を完全数という．\(a\)が偶数で完全数ならば，ある自然数\(n\)に対して\(a=2^{n-1} \left( 2^n-1 \right) \)と表されることを示せ． ★奇数の完全数はあるのでしょうか★

// \(1\)，\(2\)，\(\cdots\)，\(n\)の相異なる２数の積のすべての和を\(S \left( n \right)\)とする．たとえば，\(S \left( 3 \right)=1 \times 2+1 \times 3+2 \times 3=11\)である．\(S \left( n \right)\)を\(n\)の４次式で表せ． ★重複の処理を正しくで…

// \(x \ne 1\)のとき，等比数列の和の公式 \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} x^k = \frac{x^n-1}{x-1}\) の両辺を\(x\)で微分せよ．その結果を利用して，\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}=kx^k\)を求めよ． ★右辺の計算は慎重に★

７個のさいころを同時に投げるとき，６種類の目がすべて出る確率を求めよ． ★遊ぱちの大当たり確率？★

// // 実数\(x\)に対し，\(x\)を超えない最大の整数を\([x]\)で表す．自然数\(p\)に対して，\([\sqrt{n} \hspace{0.15em}]=p\)をみたす自然数\(n\)の集合を\(M_p\)とする．\(M_p\)の要素で\(p\)の整数倍であるものは全部で何個あるか． ★ガウス記号には不等…

平面上で，３頂点の座標がすべて整数の組であるような正三角形は存在するか． ★さまざまなアプローチがある★