// // ある装置を使って，市川中学校の校門の緯度を調べたところ，北緯\(35.733°\)でした．そこから南は\(109.9\rm m\)離れたバスケットボールのゴールがある場所で緯度を調べたところ，北緯\(35.732°\)でした．図のように，北緯とは，地球のある地点と北極…

// // \(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\)は相異なる複素数で， \(\alpha+\beta+\gamma=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=0\) を満たすとする．このとき，\(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\)の表す複素数平面上の３点を結んで得られる三角形はどのような三角形か．…

// // 図において，線分\(\rm AB\)は円\(\rm O\)の直径であり，３点\(\rm C\)，\(\rm D\)，\(\rm E\)は円\(\rm O\)の周上の点である．\(\rm \angle ABC=38°\)，\(\rm BC\hspace{.25em} / \hspace{-.67em}/ \hspace{.25em}EO\)のとき，\(\rm \angle CDE\)の大…

// // 複素数を成分とする\(m × n\)行列\(A\)と\(n × m\)行列\(B\)に対し， \(AB=I_m\)，\(BA=In\) が成立するならば，\(m=n\)であることを示せ．ただし，\(I_k\)は\(k\)次単位行列である. ★行列の積の定義から明らか？★

ふつうの計算では加算・減算では同じ種類の量どうしの，また乗算は異なる種類の量どうしの計算であることが多い．例えば，「重さ＋長さ」や「金額×金額」は無意味だが，「長さ＋長さ＝長さ」，「単価×個数＝金額」には意味がある．しかし例外もある．同種の…

// // \(x^8+4x^7+10x^6+16x^5+19x^4+16x^3+10x^2+4x+1\)を整数係数の範囲で因数分解しなさい． ★キレイに因数分解できます★

// // \(1×3+1\)，\(2×4+1\)，\(3×5+1\)，\(\cdots\)，\(2007×2009+1\)，\(2008×2010+1\)の中で，\(41\)で割り切れるものはいくつありますか． ★計算すると平方数の列であることがわかります★

// // 正の実数\(a\)，\(b\)，\(c\)を係数とする３次方程式 \(x^3+ax^2+bx+c=0\) が，純虚数の解をもつとする．\(ab-c\)の値を求めよ． ★不思議と解が\(x=a，\pm \sqrt{b}i\)とわかる★

// // 図は，\(\rm OA=OC\)，\(\rm AB=BC\)の四角形\(\rm OABC\)を12個，すき間なく並べた平面図形で，\(\rm AB=\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6} cm\)，\(\angle \rm OAB=105°\)である．この平面図形全体の面積を求めよ． ★四角形\(\rm OABC\)の面積を求め…

// // 次の行列を\(A\)とおく． \(\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right)\) \(A^2\)，\(A^3\)，\(A^4\)を求めよ． また，その結果を一般化し，非負整数\(n\)に対して，\(A^{…

// // 次の微分方程式を解きなさい． \(\displaystyle \frac{dy}{dx}-y=e^x\) ★特殊解を見つけられるか★

// // \(5\)倍しても，\(6\)倍しても，四捨五入で千の位までのがい数にすると\(2000\)になる整数は何個ありますか． ★「何個ありますか」の計算は植木算と言われますが…★

// // 実数の集合\(A_n\)を\(A_n=\{x \mid n

// // 図のような\(\rm \angle A_1OA_2=\angle A_2OA_3=\angle A_3OA_4=\angle A_4OA_5=\angle A_5OA_6=\angle A_6OA_7=30°\)である相似な６つの直角三角形を考える．\(\rm OA_1=64\)のとき，\(\rm A_6A_7\)の長さを求めよ． ★相似比が公比の等比数列ですね★

// // 数列\(\displaystyle \{a_n\}_{n=1}^{\infty}\)で\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}na_n=0\)かつ\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)が発散する例をつくれ． ★「発散」とは「収束しない」ということ★

// // 次の不定積分を求めよ． \(\displaystyle \int \frac{1}{e^x+1}dx\) ★しっかり学んでいるかを判定するにはよい問題★

// // 自然数\(n\)に対して，\(\sqrt{n}\)に最も近い整数を\(a_n\)とする．例えば，\(a_1=1\)，\(a_2=1\)となる． \(\displaystyle \sum_{n=1}^{600}\frac{1}{a_n}\)を求めよ． ★任意の\(k \in \mathbb{N}\)に対し，\(\displaystyle \sum_{a_n=k}\frac{1}{a_…

// // \(1\)～\(99\)までの数字が１つずつ書いてある99枚のカードがあります．\(\rm A\)君がある数の倍数のカードをすべて取ったあと，残ったカードの中から\(\rm B\)君が別の数の倍数のカードをすべて取りました．さらに残ったカードの中から\(\rm C\)君が…

// // \(0° \leqq x \leqq 360°\)，\(0° \leqq y \leqq 360°\)のとき，\(x\)，\(y\)を未知数とする連立方程式を解け． \(\left\{ \displaystyle \begin{array}{c} \displaystyle \sin x-\sin y=\frac{1}{2} \\ \displaystyle \cos x-\cos y=\frac{\sqrt{3}}{…

// // 図において，\(\angle \rm BAD=88°\)，\(\angle \rm ADB=64°\)，\(\angle \rm ACD=28°\)，\(\angle \rm CBD=32°\)である．このとき，\(\angle \rm BDC\)の大きさを求めなさい． ★いかにも円に内接しそう★

// // 実数\(x\)に対して，\(\ell \leqq x<\ell+1\)をみたす整数\(\ell\)を\([x]\)と表す．数列\(\{a_n\}\)を \(a_n=\displaystyle \frac{n}{[\sqrt{n}]}\) （\(n=1\)，\(2\)，\(3\)，\(\cdots\)） で定め，\(S_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k\)とおく．…

// // 転置行列が逆行列となる正方行列を直交行列という． 直交行列の行列式は\(1\)または\(-1\)であることを示せ． ★出発点は問題文のニュアンスから見極める★

// // ４つの整数\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)があります． \(A+B+C+D=496\)，\(A+3=B-3=C×3=D÷3\) がなりたつとき，\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)はいくつですか。 ★\(A+B\)を\(D\)で表わすとラク★

// // 一般角\(\theta\)に対して，\(\sin \theta\)，\(\cos \theta\)の定義を述べよ． また，その定義にもとづき，一般角\(\alpha\)，\(\beta\)に対して \(\sin \left(\alpha+\beta\right)=\sin \alpha\cos \beta+\cos \alpha\sin \beta\) \(\cos \left(\alp…

// // 朝日高校のオープンスクールに参加した朝雄さんは，校門横の楠の高さを知りたいと思いました．当日，次のことがわかりました． 『朝雄さんがある地点\(\rm P\)に立って木の先端を見上げると，見上げる角度が\(60^\circ\)であった．また，木の根元と地…

// // \(p\)を\(3\)以上の素数とし，\(\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/\mathbb{Z}_p\)を位数\(p\)の有限体とする． このとき，方程式\(X^2+Y^2+Z^2=0\)は\(\mathbb{F}_p\)において\(\left(X,Y,Z \right)≠\left(0,0,0 \right)\)なる解を必ず持つことを示せ．なお，…

// // 次の数列\(\{ a_n \}\) は， ある有限の値に収束することを示せ． \(a_1=\sqrt{2}\)，\(a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\) ★単調かつ有界であることを示すだけでよい★

// // \(a=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\)，\(b=\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\)のとき，\(a+b\)の値を求めなさい． ★\(a\)も\(b\)も最小多項式はまさかの２次式★

// // 立方体を図１のように並べ，これを４段重ねて図２の立体をつくる。２点\(\rm A\)，\(\rm B\)を結ぶ直線が通る立方体の数はいくつか。 ★１段ずつ数えることが大切です★

// // 次の\(\fbox{ ？ }\)にあてはまる数を答えなさい．ただし，４つ\(\fbox{ ？ }\)のには，同じ１けたの整数が入ります． \(\left( \fbox{ ？ }-1 \right) ×\fbox{ ？ }×\left( \fbox{ ？ }+1 \right)= \fbox{ ？ }×35 \) ★0と答えたときの採点が気になる★