// // １個のさいころを３回投げ，出た目を順に\(a\)，\(b\)，\(c\)とする．不等式 \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} \left(\cos ax \right)\left( \cos bx \right)\left(\cos cx\right) dx>0\) をみたす確率を求めよ． ★ダイナミックな出題です★

// // 図のように，２つの正三角形は，ともに半径\(2\)の円に内接し，その頂点は円周の６等分点である．図の斜線部分の面積を求めよ． ★対称性に注目★

// // \(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}} \left( a>0 \right) \)によって与えられる曲線がある．この曲線の表す図形について周の全長を求めよ． ★アステロイドの周長はキレイな値★

// // 昭和\(25\)年は西暦\(1950\)年であるが，\(1950\)は\(25\)で割りきれる．昭和元年から\(63\)年までで西暦が割りきれるのは何か． ★\(1925\)の約数がいい塩梅★

// // 連続する２つの正の整数 \(m\)，\(n\) \(\left( m < n \right)\)があります。このとき，２次式 \(x^2±mx-n\) と \(x^2±nx+m\) はすべて係数が整数の範囲で因数分解できることを証明しなさい． ★細かい部分に気をつけないと足元をすくわれそう★

// // 図は，１辺の長さが\(\rm 12 cm\)の正方形\(\rm ABCD\)と，それぞれの辺を３等分する点を１つおきに結んでできる図形です．このとき，斜線部分の八角形の面積は何\(\rm cm^2\)ですか． ★余分を上手に引きましょう★

// // \(1\)から\(6\)の目が出る確率がそれぞれ以下の表のようになっているさいころがあるとする． このさいころの出る目の期待値が\(\displaystyle \frac{15}{4}\)であるとき，\(x\)，\(y\)の値を求めよ． ★根元事象の確率の総和は\(1\)★

// // 図のように，正方形を９つの正方形に分けて\(1\)から\(9\)の番号をつける．点\(\rm P\)が\(1\)の正方形からスタートして，そのままとどまることなく，１辺を共有する隣の正方形に同じ確率で移動する．このとき，点\(\rm P\)が３回の移動で\(8\)の正方…

// // 関数 \(g : \mathbb{N} ×\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} \) で全単射であるものを１つ挙げよ． ★図形的に考えて定式化★

// // 定積分 \(\displaystyle \int_0^{\infty}\frac{1}{(1+x^2)^2} dx\)を求めよ． ★分母の２乗がなければ？★

// // 表面積が\(98765432 \rm cm^2\)の立方体１個を細かく切断して，同じ大きさの立方体1000個に分けました．この1000個の立方体の表面積を合計すると，もとの立方体の表面積よりも，何\(\rm cm^2\)だけ大きくなりますか．ただし，分けたときに，余った部分…

// // ３桁の素数\(x\)の一，十，百の位の数をそれぞれ\(a\)，\(b\)，\(c\)として，\(a\)，\(c\)は相異なる素数で\(b=a+c-1\)をみたすとき，\(x\)の値を求めよ． ★３桁の整数が素数かどうかを判定のは難しい？★

// // 図の正九角形\(\rm ABCDEFGHI\)において，頂点\(\rm C\)，\(\rm A\)を通る直線と頂点\(\rm F\)，\(\rm I\)を通る直線の交点を\(\rm J\)とします．\(x\)の値を求めなさい． ★\(\rm C\)から線分\(\rm FJ\)に垂線を引くと円の中心を通る★

// // \(n\)を\(3\)以上の自然数とする．群\(G\)から\(G\)自身への写像\(h:G→G\)を\(h(x)=x^n\ \left( x \in G \right)\)と定義して，この\(h\)が群の準同型写像であるとき，\(G\)がアーベル群であると言えるか． ★\(n=2\)ならばアーベル群です★

// // 次の行列式を計算せよ． \(\left| \begin{array}{cccc} 4 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 4 \\ \end{array} \right|\) ★縦横無尽に加えていくと簡単に計算できる★

// // あるチョコレート菓子の箱には，おまけとしてシールが１枚ずつ入っている。シールは全部で20種類あり，菓子の箱に各シールが入っている確率は等しく\(\displaystyle \frac{1}{20}\)ずつである。すべての種類のシールを集めるためには，平均何個の菓子…

// // \(150\)を\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(\cdots\)，\(150\)でわったときの商と余りについて考えます．ただし，商は整数とし，わり切れるときの余りは\(0\)とします． 例えば，\(150\)を\(11\)でわったときの商は\(13\)，余りは\(7\)となります．\(150\)をあ…

// // 最高次の係数が\(1\)の整式\(P \left( x \right)\)で，条件\(P \left( 2 \right)=0\)，\(P \left( 0 \right)=1\)，\(P \left( 1 \right)=2\)をみたすもののうち，最も次数の低いものを求めよ． ★\(P \left( x \right)\)の最高次の係数が\(1\)であるこ…

// // 図のように，原点を通り\(y\)軸上に中心を持つ円と，放物線 \(\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2\)が点\(\rm A \left ( 4,8 \right) \)で交わっている．このとき，円の中心の座標を求めなさい． ★中学数学で解くとすると相似を使う？★

群\(G\) は元 \(a\)，\(b\)，\(c\)で生成され，\(a^ 2=b^2=c^2=abc=1\) を満たすものとする． ただし，\(1\)は\(G\)の単位元である．このとき，\(G\)は可換群になることを示せ． ★\(abc=1\)という条件をうまく使う ★ // //

// // 自然数\(n\)に対して，\(\displaystyle H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\)とおく． \(\displaystyle \lim_{n→\infty} \frac{H_n}{\log n}=1\) であることを示せ． ★上手に挟みましょう★

// // \(\displaystyle \sum^{\infty}_{k=1} \frac{k^3}{k!}\)を求めなさい． ★とりあえず約分したくなるんですが…★

// // \(2015\)のように各位の数字がすべて異なる整数を「おもしろい整数」とします． 「おもしろい整数」ではない４けたの整数が最も長く連続するのは，\(\bf \fbox{ ア }\)から\(\bf \fbox{ イ }\)の\(\bf \fbox{ ウ }\)個です．\(\bf ア \)，\(\bf イ\)，…

// // 10個のアルファベットの大文字\(\rm A\)，\(\rm B\)，\(\rm C\)，\(\rm D\)，\(\rm E\)，\(\rm F\)，\(\rm H\)，\(\rm I\)，\(\rm O\)，\(\rm X\)を重複を許して並べてできる５文字の順列を１枚のカードに１つずつ書くとする．なお，文字\(\rm H\)，\(…

// // \(\sqrt{2}×\sqrt{3}×\sqrt{4}×\sqrt{5}×\sqrt{6}×\sqrt{7}×\sqrt{8}×\sqrt{9}×\sqrt{10}\)を計算せよ． ★案外スマートな計算結果★

// // \(\log_{10}2=0.3010\)，\(\log_{10}3=0.4771\)とする．\(1024\)桁の\(2\)進数の非負の整数と\(100\)桁の\(3\)進数の非負の整数の積で表される数の個数を\(10\)進数で表すと，最大で何桁になるか求めよ． ★大学入試レベルでも言い方を変えられると解け…

// // 点\(\rm A \left( \it x_\rm 1 , \it y_\rm 1 \right)\)と直線\(ax+by+c=0\)の距離を\(d\)とする．\(d\)を表す式を導きなさい． ★阪大文系の類題だが，教科書よりキレイに証明したい★

袋の中に赤玉が100個，白玉が60個入っています．この袋の中から赤玉１個と白玉１個を取り出す操作をＡ，袋の中から赤玉２個を取り出し袋の中に新たに白玉２個を入れる操作をＢとします．袋の中の赤玉を54個，白玉を82個にするには，Ａ，Ｂをそれぞれ何回行え…