// // \(k>0\)とする．実数列 \(\{ a_n \}_{n=1}^{\infty}\)を \(a_1 = k\)，\(a_{n+1} = \sqrt{a_n + 1}\) （\(n = 1\)，\(2\)，\(\cdots\)） とする．任意の\(k > 0\)に対して，実数列\(\{ a_n \}\)は収束することを示し，その極限値を求めよ． ★場合分け…

// // ベクトル\(\vec{a} = (4 , 3)\)に垂直な単位ベクトルを求めよ． ★すべて求めないといけない★

// // １辺が\(\rm 2cm\)の立方体をすきまなく重ねて，図のような１辺が\(\rm 6cm\)の大きな立方体を作りました．この立方体の図の灰色部分（正方形と直径\(\rm 2cm\)の円）を，それぞれ立方体の面と垂直に，向かい合う面までくりぬきます．このとき，くりぬ…

// // \(n\)を自然数とする．\(\rm A\)，\(\rm B\)，\(\rm C\)，\(\rm D\)，\(\rm E\)の５人が１個のボールをパスし続ける．最初に\(\rm A\)がボールを持っていて，\(\rm A\)は自分以外の誰かに同じ確率でボールをパスし，ボールを受けた人は，また自分以外…

// // \((a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)を展開した結果を利用して，\(a^3+8b^3+27c^3-18abc\)を因数分解せよ． ★ここまで来ると出題者のエゴですね★

// // 方程式\(x^3 + x^2 + ax + 1 = 0\)は負の解を持つことを示せ．ただし，\(a\)は定数とする． ★簡単すぎる気もするけど，意外と解けない？★

// // 以下の不等式を証明せよ．ただし，\(x_k > 0\) （\(k = 1\)，\(2\)，\(\ldots\)， \(n\)） \(x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n = 1\) ならば \(x_1 + x_2 + \cdots + x_n \geqq n\) ★相加・相乗平均の関係式につながる★

// // 図のような平行四辺形\(\rm ABCD\)があり，辺\(\rm BC\)の長さは\(\rm 4cm\)，面積は\(\rm 20cm^2\)です．この平行四辺形\(\rm ABCD\)を，直線\(\rm AD\)のまわりに１回転させてできる立体の体積は何\(\rm cm^3\)ですか．ただし，円周率は\(3.14\)とし…

// // ２つのサイコロ\(\rm A\)，\(\rm B\)をふって出た目をそれぞれ\(a\)，\(b\)として次の式 \(\displaystyle \left( ax^2 + \frac{b}{x} \right)^5\) の展開式を考える．\(x^7\)の係数よりも\(\displaystyle \frac{1}{x^2}\)の係数のほうが大きくなる確率…

// // \(ax + b^2\)を，\(x\)について解きなさい．ただし，\(a \neq b\)とします． ★高校生が苦手なやつですね★

// // 複素正方行列\(A\)について，\(A\)が対角化可能な５次行列で\(A^3 + A = O\)とする．\(A\)の行列式が実数ならば，\(A\)は逆行列を持たないことを示せ． ★条件が交錯していますね★

// // \(z = (1 + i)^n - (1 − i)^n\)とするとき，\(|z|\)を求めよ．ただし，\(i\)を虚数単位 \((i^2 = −1)\)，\(n\)は自然数とする． ★図形的に考えたくなる罠★

// // \(11\)で２回， \(3\)で２回わり切れる整数のうち，最も大きい４けたの整数を答えなさい． ★問題の解釈によっては\(7623\)★

// // \(1\)から\(9\)までの数字を１つずつ書いた９枚のカードがある．これらのカードをよくきって左から１列に並べ，左から\(n\)枚目までのカードに書かれた数の和を\(S_n\)とするとき，\(S_1\)，\(S_2\)，\(\cdots\)，\(S_9\)のいずれかが\(11\)となる確率…

// // 等式\(24^2+27^2+29^2+30^2=p^2+q^2+r^2+s^2\)を満たす正の整数\(p\)，\(q\)，\(r\)，\(s\)を求めなさい．ただし，\(p>24\)，\(p \leqq q \leqq r \leqq s\)とする． ★四次元版ピタゴラス★

// // \(X\)，\(Y\)を集合とし，\(F:X \to Y\)を写像とする．\(X\)が空集合でなく，\(F:X \to Y\)が単射ならば\(Y\)から\(X\)への全射が存在することを示せ． ★全射と単射がつながる★

// 数列の和の公式で ( ) の中に入る式を求めよ． \(\displaystyle \sum_{k=1}^n \Bigl( \Bigr) = n^3\) ★見せ方を変えるとビビるというやつです★

// \(100 \div 100 - 100 \div ( 100 + 100 ) - 100 \div 100 \div 100\) ★単純に面白い★

// 三辺の長さ\(x\)，\(y\)，\(z\)がすべて自然数であり，\(x+y+z=100\)，\(1 \leqq x \leqq y \leqq z\)を満たす三角形について考える．ただし，合同な三角形は問一視して考える．与えられた条件を満たす三角形は全部で何個あるか． ★上手な融合問題ですね★

\(\displaystyle \sqrt{2010 \times 2006 + 4}\)を計算せよ． ★出題者は精一杯楽しんでいますね★ //

// \(p\)を素数とする．元の個数が\(p^2\)の可換環を同型を除いて全て求めよ．ただし可換環は単位元を持つものとする． ★単位元を持つところが肝らしいですね★

// 次の行列\(B\)の\(B^n\)を求めよ． \( \displaystyle B= \left( \begin{array}{ccc} x & 0 & 0 \\ 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & x \\ \end{array} \right) \) ★予想外な復活が見られる★

// \(1\)辺が\(1\)の正方形を縦に\(3\)個，横に\(3\)個すき間なく並べ，図のように点\(\rm A\)，\(\rm B\)，\(\rm C\)，\(\rm D\)をとりました．このとき，四角形\(\rm ABCD\)の面積は何\(\rm cm^2\)です． ★ありがちな問題と思っているとハマるかも★

// \(n \geqq 2\)であるような自然数\(n\)に対して \(1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + \cdots \cdots + (n - 1) \times n \times (n + 1 )\) \(= (1 + 2 + 3 + \cdots \cdots + n)(2 + 3 + \cdots \cdots + n)\) が成り立つことを示せ． ★左辺…

// \(111\)個の玉と，中に何も入っていない赤い箱と青い箱がある．それぞれの玉には\(1\)から\(111\)までの異なる整数が\(1\)個の玉につき\(1\)つだけ書いている．これら\(111\)個の玉を，書かれた数が小さい順に\(1\)個ずつ赤い箱または青い箱に入れていく…

// 時間と距離の比例関係の問題「\(2\)秒で\(\rm 5m\)は毎時何\(\rm km\)？」の問題では，「何＝ \( \left( 5 \times \left( 3600 \div 2 \right) \right) \div 1000\) 」が立式される．この立式を数学の推論として行いなさい．ここで「数学」の意味は，つぎ…

// \(0\)と\(1\)のみを成分とする\(2 \times 3\)行列\(A\)で， \(\displaystyle {A}\,{^t\!A} = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right ) \)，\(\displaystyle {^t\!A}\,{A} = \left ( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\…

// \(\rm A\)，\(\rm B\)，\(\rm C\)の３人が，たすぎをつないで図のようなコースを走った．スタートしてからゴールするまでに要する時間が最も短くなるようにたすきをつなぐ地点を決めるとき，要する時間はいくらか．ただし，平坦な道，上り坂，下り坂にお…

// 図のように，１辺\(\rm 8 cm\)の正三角形のそれぞれの辺を直径とする半円をかきました．かげをつけた部分の面積は，何\(\rm cm^2\)ですか． ★キレイに解けるが円周率は\(\pi\)でいいのかな？★

// 楕円\(\displaystyle \frac{x^2}{17}+\frac{y^2}{8}=1\)の外部の点\(\rm P \left ( \it a , b \rm \right )\)からひいた２本の接線が直交するような点\(\rm P\)の軌跡を求めよ． ★最後まで気が抜けない★