// ＡとＢが，どちらかが５勝した時点で終了する約束で，将棋の対戦を繰り返したところ，２人の対戦は，第９戦まで続いた結果，Ａの５勝４敗で終わった．Ａが５勝するまでの経過について，次のア～ウのことが分かっている． ア Ａの勝ち数がＢの勝ち数を下回…

// \(\displaystyle \frac{1}{3}\)より大きく，\(\displaystyle \frac{1}{2}\)より小さい数について，分母が\(108\)の分数は，何個ありますか．約分のできる分数はのぞいて答えなさい． ★膨大な数でなければ数えたほうが早い★

// \(xy\)平面で\(x\)座標と\(y\)座標がともに自然数であるような点\(\left ( m , n \right ) \)の各々に，自然数\(a\left ( m , n \right ) \)が割り当てられている．\(a \left ( 1 , 1 \right ) = 1 \)であり，すべての\(m\)，\(n\)に対して次の規則が成り…

// // \(a\)，\(b\)は正の数とする．図において点\(\rm O\)は原点，点\(\rm A\)の座標は\(\left ( 2a , 0 \right ) \)，点\(\rm B\)は\(\rm BO=BA\)を満たす点で，その\(y\)座標を\(b\)とおく．\(\rm \triangle OAB\)の面積が\(12\)であるとき，\(a=3\)のと…

// ３次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}^3\)内の曲面で，ガウス曲率が至るところ\(0\)であっても主曲率は\(0\)でない例を挙げよ． ★ガウス曲率は主曲率の積だから例は結構ありそう★

相関係数とはどのようなものか説明するとともに，その結果を用いる場合に注意すべき点を２つあげよ． ★大きく３種類あるうちの２種類を書けばよい★

// 太郎と次郎がＡ町と\(1200 \rm m\)はなれたＢ町の間を往復しました．太郎は行きの途中で１度だけ\(30\)分の休けいを取りました．次郎は太郎より\(20\)分遅れてＡ町を出発し，１度も休けいを取りませんでした．また次郎の行きの速さは帰りの速さの\(1.5\)…

// 実数\(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\) が，\(\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\)，\(\displaystyle 0 < \beta < \frac{\pi}{2}\)，\(\displaystyle 0 < \gamma < \frac{\pi}{2}\)，\(\displaystyle \alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}\)…

// \(1\)から\(8\)までの８個の整数から４個を選び，それらの積を\(a\)とし，残り４個の積を\(b\)とする．このとき，\(a=b\)となることがあるか．あればその値を求め，いつも\(a \ne b\)であれば理由を述べよ． ★\(a=b\)のとき\(a^2=8!\)★

// 集合\(X\)に対して，\(2^X\)は\(X\)の部分集合全体からなる集合を表すものとする．このとき，どのような集合\(X\)に対して，次の条件を満たす写像\(f : X \longrightarrow 2^X\)は存在しないことを証明せよ． 条件：集合\(2^X\)の任意の要素\(A\)に対し，…

// // 逆三角関数に関する次の方程式を解け． \(\displaystyle \cos^{-1} x = \sin^{-1} \frac{3}{5}\) ★気を抜くと凡ミスするかも★

// // 図のように，同じ半径の５つの円が互いに接した形をした道がある。図の\(\rm A\)から点\(\rm B\)まで遠回りせずに行く方法は何通りあるか。 ★無駄な道を省いてからの？★

// 次の【 】の中に適する数を書きなさい． \(63\)，\(94\)，\(156\)の３つの数を【 】で割ったら，あまりは同じになります． ★\(1\)を入れたら不正解なのでしょうか★

\(\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{n} \left( x^k \right)^k\)とする．微分係数\(f'(1)\)を\(n\)で表せ． ★基本事項を題材にした作問上手★ //

// \(x\)についての不等式\(x \leqq k\)を満たす自然数がちょうど４個となるとき，定数\(k\)の値の範囲を求めなさい． ★端点に注意と連呼したい★

// \(a < c < b \)とする．区間\( \left( a , b \right) \)で２回連続微分可能な関数\(f(x)\)に対して，極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\left( f(c+x) \right)^2 - f(c) f(c+2x)}{x^2}\) を求めよ． ★たしかに２回連続微分可能という条件が必…

// // 図のような３辺\(\rm AB\)，\(\rm BC\)，\(\rm CD\)の長さが\(a\)の台形がある．この３辺の長さは変わらないとして，台形の面積が最大となるような角度\(\theta\)を求めなさい。 ★まぁ予想どおりですな★

声優，教師，保育士，看護師，弁護士，客室乗務員の６人の姓は，荒井，加藤，志村，高木のいずれか，名前は，早紀，真美，由佳のいずれかである．次のア～クのことがわかっているとき，１～５のうち正しくいえるのはどれか．ただし，同姓同名はいないものと…

// // 金製品の品質を表すのに「\(\small \bigcirc \bigcirc\)金」という表示が使われます． 「\(24\)金」の製品は\(100\)％が金でできています． 例えば「\(18\)金」の製品は\(\displaystyle \frac{18}{24}\)が金でできているということになります． 「\(14…

ある部活動では， ２年生男子３名，３年生男子３名，２年生女子４名，３年生女子2名が合宿に参加する．合宿所には，定員４名の部屋と定員２名の部屋が１室ずつ，定員３名の部屋がが２室用意されている．ただし，男子生徒と女子生徒は向じ部屋には泊まらない…

// 図で，点\(\rm P\)は線分\(\rm AB\)を直径とする半円上にあり，\(\rm \triangle ABC\)と\(\rm \triangle APQ\)は正三角形である．点\(\rm C\)と\(\rm Q\)を結ぶ．\(\rm \angle PAB=38^{\circ}\)のとき，\(\rm \angle ACQ\)の大きさは何度か． ★意外なとこ…

// // \(\displaystyle \lim_{x \to 0+0} x^{(e^x-1)} =1\)を示せ． ★補完して考えるやつです★

// 正の整数\(N\)が\(1\)に較べて充分大きいとき，\( \ln N! \)は\(N \ln N - N\)と近似できることを示せ．ただし，\(\ln N = \log_e N\)である． ★どうも近似って慣れないんですよね…★

// // 図は，対角線の長さが\(\rm 10 cm\)の正方形と，正方形の対角線を直径とする円と，正方形の１辺を直径とする半円２つを組み合わせたものです．かげをつけた部分の面積は何\(\rm cm^2\)ですか．円周率は\(3.14\)です． ★円周率は円積率でもあるんです★

// // 次の連立方程式を満たす実数の組\(\left( x , y \right)\)をすべて求めなさい． \(\left\{ \displaystyle \begin{array}{l} -9x^2+4x+3y^2=0 \\ 3xy-5y=0 \end{array} \right. \) ★冷静に見ればわりと簡単★

// // // // ]]> 図のような，点\(\rm O\)を中心とし，線分\(\rm AB\)を直径とする半円において，\(\rm AB=5 cm\)，\(\rm CD \hspace{-1.35em} \raise{1.5ex} {\large \frown} = \pi cm\)であるとき，\(\rm \angle AEC\)の大きさを求めよ． ★大胆な設定★

// \(\displaystyle e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\) は無理数であることを証明せよ． ★方針は単純だけど演繹的に論じたい★

// // 円筒形の容器に水位 \(h_0 [ \rm cm ]\)まで水が入っている．いま，この容器の底から水を抜き始めたところ，\(t_1 [分]\) 後には水位が \(h_1[ \rm cm ]\) となった． また，水位の低下速度 \(\displaystyle − \frac{dh}{dt} [ \rm cm / 分 ]\)は, そ…

// // 次の\(\fbox{ ？ }\)にはすべて同じ整数があてはまります．その整数を答えなさい． \(\fbox{ ？ } \times \fbox{ ？ } \times \left \{ \left( \fbox{ ？ }+1 \right) \times \left( \fbox{ ？ }-1 \right) - \fbox{ ？ } \right \} = 2009 \) ★よく作…

// \(M= \{ 1 , 2 , \cdots \cdots \} \)を\(1\)から\(n\)までの自然数の集合，\(f\)を\(M\)から\(M\)への写像とし， \(f_1=f\)，\(f_2 = f \circ f_1 = f \circ f \)，\(f_3 = f \circ f_2 = f \circ f \circ f \)，\(\cdots \cdots\)，\(f_k = f \circ f_{…