// // 数列\(\{ a_n \}\)を\(a_1=a\)，\(a_2=b\)，\(a_{n+2}=a_{n+1}-a_n\) （\(n \geqq 1\)）で定める．\(a=15\)°，\(b=75\)°のとき， \(\sin a_1+\sin a_8+\sin a_{15}+\sin a_{22}+\sin a_{29}+\sin a_{35}\) の値を求めよ． ★数列は「数」の「列」ですよ…

// // \(\rm AD=4cm\)，\(\rm DC=8cm\)である長方形\(\rm ABCD\)の内側に正方形\(\rm PQRS\)があり，初めは図１のように，２つの頂点\(\rm P\)と\(\rm A\)が重なっています．この位置から，図２のように，正方形は長方形の周に接しながら，すべらないように…

// // 以下の論理式が恒真式であることを，真偽表によって示せ． \(\left( \left( \phi \to \psi \right) \to \phi \right) \to \phi \) ★誰しも悩む「仮定が偽ならば命題は真」★

// // 曲線\(y=f(x)\)上の点\(\rm P \left( \it x, \it y \right)\) における接線が常に\(x\)軸との交点\(\rm Q\)，\(y\)軸との交点\(\rm R\)を持つとき，\(\rm P\)が常に線分\(\rm Q\)\(\rm R\)の中点であるという条件を，\(y=f(x)\)に関する微分方程式で表…

// // 累乗の和について \(\displaystyle \sum_{k=1}^n k=\frac{1}{2}n(n+1)\)，\(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)，\(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3=\left \{ \frac{1}{2}n(n+1) \right \}^2\) が成り立ちます．数列\(\{ a_n \…

// // 次のような規則で並べた数の列があります． \(\rm E\)さんは計算ミスをして\(6\)段目の左から\(3\)番目に正しくない数字を書きました．その結果，\(9\)段目の列の並び方が次のようになりました． \(1\) \(8\) \(27\) \(53\) \(67\) \(55\) \(28\) \(8\…

// // ３点\(\rm A\)，\(\rm B\)，\(\rm C\)がこの順に１直線上に並んでいて\(\rm AB=1\)とする．\(\rm B\)を通り直線\(\rm AC\)に直交する直線\(\ell\)が与えられているとき， \(\rm BD^2=BC\) をみたす\(\ell\)上の点\(\rm D\)を作図する方法をその理由と…

// // 図は，１辺の長さが\(2\)の正八面体\(\rm ABC-DEF\)を面\(\rm ABC\)の側から見たものです．ただし，かくれている辺とかくれていない辺が区別なくかかれています．かくれている辺をすべて答えなさい． ★理屈で考えるものではないです★

// // 次の微分方程式を解きなさい． \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\) ★式はキレイなんですけど★

// // 一定の速さで水が流れる\(1\)周\(200 \rm m\)のプールがあります．うき輪を流したら\(1\)周するのに\(6\)分\(40\)秒かかりました．また，さくらさんは普通のプールでは分速\(48 \rm m\)で泳ぎます． さくらさんはこのプールの地点\(\rm A\)から地点\(\…

// // \(xy\)平面において，点\(\left( x_0,y_0 \right)\)と直線\(ax+by+c=0\)の距離は \(\displaystyle \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) である．これを証明せよ． ★教科書どおりに証明する必要はないですよ★

// // \(\rm \triangle ABC\)は３つの内角がすべて鋭角の三角形である．頂点\(\rm B\)から辺\(\rm AC\)に垂線を引き，辺\(\rm AC\)との交点を\(\rm D\)とした場合を考えたとき，線分\(\rm BD\)上にあり，\(\displaystyle \rm \angle ABD=\frac{1}{2}\angle A…

すべての頂点が１つの正方形の辺上にとれるような正多角形をすべて求めよ． ★円をうまく利用したい★

// // \(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy^2}{x^2+y^2}\)を求めよ． ★結果は予想できるが，それが正しいことを演繹したい★

// // \(\rm A\)，\(\rm B\)，\(\rm C\)，\(\rm D\)，\(\rm E\)，\(\rm F\)を\(7\)でないすべて異なる数字です．５けたの数\(\rm ABCDE\)を\(7\)倍すると６けたの数\(\rm FFFFFF\)になります．このとき，５けたの数\(\rm ABCDE\)を求めなさい．

// // 次の条件(a)，(b)をともに満たす実数の組（\(p\)，\(q\)，\(r\)）をすべて求めよ． (a) \(p\)，\(q\)，\(r\)の絶対値は等しい (b) ３次方程式\(x^3+px^2+qx+r=0\)は，絶対値が\(1\)であるような虚数解をもつ ★\(p\)，\(q\)，\(r\)のうちの少なくとも２…

// // 大中小３個のさいころを同時に投げて，出た目の数をそれぞれ\(x\)，\(y\)，\(z\)とするとき，\(x>y\) であり，\(\left( x-y \right)z \) の値が素数になる場合の目の出方は何通りあるか求めよ． ★\(1\)は素数じゃありません★

// // 自然数の対を入力にとる次のようなアルゴリズム\(F\)を考える． \( F(m,n)= \left\{ \begin{array}{l l} n+1 & m=0 のとき \\ F(m -1,1) & m \neq 0 かつ n=0 のとき \\ F(m -1,F(m,n -1)) & m \neq 0 かつ n\neq 0 のとき \end{array} \right. \) す…

\(n=0\)，\(1\)，\(2\)，\(\cdots\)に対して \(\displaystyle \int_{0}^{\Large\frac{\pi}{2}}\sin^nx dx= \int_{0}^{\Large\frac{\pi}{2}}\cos^nx dx\)を示せ． // // ★初見だとビックリする関係かも★

図は立方体をななめ上から見た図の一部をかいたものです．立方体の残りの部分をかきなさい． ★採点が大変そう★

// // \(abc=n\)の時，\(\displaystyle \frac{3a}{ab+a+1}+\frac{3nb}{bc+nb+n}+\frac{3c}{ca+c+n}\)の値を求めよ．ただし，\(a\)，\(b\)，\(c\)はすべて自然数とする． ★テストのときは，\(a=b=c=n=1\)として計算する？★

// // 図のように，\(\angle \rm A=90\)°，\(\rm AB=24cm\)，\(\rm AC=8cm\)の直角三角形\(\rm ABC\)がある．辺\(\rm AB\)上に点\(\rm D\)を\(\rm AD=AC\)となるようにとる．また，辺\(\rm BC\)上に点\(\rm E\)をとり， \(\rm E\)から線分\(\rm DB\)に引いた…

// // \(X\)を\(1\)以上\(2012\)以下の全ての偶数の和，\(Y\)を\(1\)以上\(2012\)以下の全ての奇数の和とする．\(X-Y\)はいくつか． ★\(X\)の和，\(Y\)の和を求めるようでは悲しい★

// // 無限級数 \(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\log n}\) が収束するかどうかを判定せよ． ★収束しそうなのに…★

// // 次のような規則で整数が並んでいるとき，12番目の数は何ですか． \(1\)，\(15\)，\(30\)，\(44\)，\(88\)，\(102\)，\(204\)，\(\cdots\) ★規則性が読みにくい★

// // 表の出る確率が\(\displaystyle \frac{1}{3}\)の特殊な硬貨を\(5\)回続けて投げる．\(5\)回目に，表が出て，かつ表の出た回数が\(k\)回となる確率を\(P_k\)とする（\(k=1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)）．このとき，\(P_1+P_2+P_3+P_4+P_5\)の値はい…

// // \(\left( 2\sqrt{2}+\sqrt{7}\right )^{16}\left( 2\sqrt{2}-\sqrt{7}\right )^{14}+\left( 2\sqrt{2}+\sqrt{7}\right )^{14}\left( 2\sqrt{2}-\sqrt{7}\right )^{16}\)を計算しなさい． ★圧迫感勝負！★

// // \(\mathbb{R}^2\)で定義された二変数関数を\(f(x,y)\)とする．\(x\)に関する偏導関数\(f_x\)と\(y\)に関する偏導関数\(f_y\)が存在して\(f_x=f_y\)となるとき，一変数関数\(g(t)\)が存在して\(f(x,y)=g(x+y)\)となることを証明せよ．また，これを用い…

円を４分割して，１つを当たりとするとき，円をまわして３本矢を投げてすべて当たりになる確率はいくらか． ★４等分と書かれていないのはワナでしょうか？★

// // 図の四角形\(\rm ABCD\)は，\(\rm AB=10cm\)，\(\rm BC=10cm\)の長方形で，曲線は\(\rm BC\)を直径とする円の半分です．【ア】の部分の面積と【ウ】の部分の面積の和が【イ】の部分の面積と等しくなるのは，\(\rm EC\)が何\(\rm cm\)のときですか．た…