// // 図において点\(\rm A\)から出発して，線分に沿って移動する動点\(\rm P\)を考える．\(\rm P\)は各点\(\rm A\)，\(\rm B\)，\(\rm C\)，\(\rm D\)，\(\rm E\)，\(\rm F\)において，１度通過した線分を除いて等しい確率で次の点に向かって移動する．ただ…

// // 図にように自然数が書かれた小さい正方形を規則的に並べ，大きい正方形を作ります．\(n\)番目に並べてできた大きい正方形の中で，四隅の４つの自然数の和が\(452\)になるのは，\(n\)がいくつのときかを求めなさい． ★数学なんだから解き方は自由ですよ…

// // \(n\)を自然数とし，\(1\)，\(2\)，\(\ldots\)，\(n\)の番号が書かれた小円を円周上，時計回りに順に配置する．また，\(1\)，\(2\)，\(\ldots\)，\(n\)の番号が書かれた小正方形を円周上，反時計回りに\(k\)番目の小円から順に配置する． 図は\(n=6\)…

// // \(A\)を正則行列とする． \(A\) の固有値の一つが\(\lambda\)のとき，\(\displaystyle\frac{1}{\lambda}\)が\(A\)の逆行列\(A^{-1}\) の固有値になることを示せ． ★正則行列の固有値が\(0\)でないことを証明する？★

// // 図のように，円すいの母線\(\rm AB\)上に，\(\rm AC=CD=DB\)となる点\(\rm C\)，\(\rm D\)を通り，底面と平行な面で円すいを３つの立体ア，イ，ウに分ける．立体アの体積を\(1\)とするとき，立体ウの体積を求めよ． ★ちょっとしたミスを誘発しそうな問…

// // \(\rm A\)～\(\rm E\)の５種類のカードを用いて２人で行うカードゲームがある．ゲームは，５種類のカードを２人がそれぞれ持ち，同時にカードを１枚ずつ出し合って，各カード間の強弱の関係により勝負を決めるものである．これらのカードの関係につい…

// // それ以上簡単な分数に約分できない分数のことを「既約分数」といいます．\(1\)より小さい分数を考えます． 分母が\(3\)以下の既約分数は，\(\displaystyle\frac{1}{2}\)，\(\displaystyle\frac{1}{3}\)，\(\displaystyle\frac{2}{3}\)となります． ま…

// // 微分可能な関数\(f(x)\)が\(f(0)=0\)かつ\(f^{\prime}(0)=\pi\)を満たすとき，次の極限値を求めよ． \(\displaystyle\lim_{\theta\to0}\frac{f(1-\cos2\theta)}{\theta^2}\) ★基本的な公式が身についていれば解けるが…★

// // 正の数\(x\)に対して，\(x\)をこえない最大の整数を\([x]\)と表すことにする．例えば，\([2.6]=2\)，\([8]=8\)である．\(3

// // \(x>0\) のとき，不等式 \(\displaystyle\left|\sin\frac{1}{x^2}\right|\leq\min\left\{1,\frac{1}{x^2}\right\}\) が成り立つことを示せ．また，不等式 \(\displaystyle \int_{0}^{\infty}\left|\sin\frac{1}{x^2}\right|dx\leq2\) が成り立つことを…

// // \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n^2}+\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+\left(n-1\right)^2}\right)=\frac{\pi}{4}\) となることを示せ． ★よく見かける問題ですがキレイに解けるので好き★

// // 方程式\(\left(n^2-3n+3\right)^{2n^2-23n+56}=1\)を満たす自然数\(n\)をすべて求めなさい． ★模範解答を作成するときに紛糾しそう★

// // \(\rm A\)席が\(300\)席，\(\rm B\)席が\(300\)席の会場で音楽会を開きました．チケットは\(\rm A\)席が\(6000\)円，\(\rm B\)席が\(4000\)円です．売れ残った\(\rm A\)席と\(\rm B\)席のチケットの枚数は\(1:2\)の割合で，売り上げの総額は\(492\)万…

// // \(a\)，\(d\)を正の整数とする．\(x_1=a\)，\(x_2=a+d\)，\(x_3=a+2d\)，\(x_4=a+3d\)とおく．\(x_1\)，\(x_2\)，\(x_3\)，\(x_4\)がすべて素数であり，\(x_3=67\)のとき，\(a\)，\(d\)の値を求めよ． ★\(a+4d\)，\(a+5d\)も素数となります★

// // 図のように，半径\(\rm 20cm\)の大円の内部に半径\(\rm 10cm\)の小円上の点\(\rm P\)が接している．この小円をすべることなく大円の内部を矢印の方向に回転させるとき，小円がもとの位置に戻るまでに小円上の点\(\rm P\)が動く距離は何\(\rm cm\)を求…

// // \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\)は実数列で, 任意の正整数\(k\)について \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(a_{n+k}-a_n\right)=0\) をみたすとする. このとき, この数列\(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\)は収束するか？ 理由をつけて答えよ. ★\(k=1\)のと…

// // 積分 \(\displaystyle \int_0^{\infty}e^{-x}\sin x dx\) を求めなさい. ★積分区間の工夫が肝心★

// // \(x=1\)を含む開区間で定義された関数\(f\left(x\right)\)について，高校生に数学\(\rm I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I\)を指導する立場で，\(x=1\)において連続とはならない関数\(f\left(x\right)\)の例を２種類あげなさい． ★「指導する立場」「２…

// // ある小数\(\rm A\)があります．\(\rm A\)の小数点を１けた右にずらした数を\(\rm B\)，\(\rm A\)の小数点を１けた右にずらした数を\(\rm C\)とします．\(\rm A\)，\(\rm B\)，\(\rm C\)３つの数の和が\(1345.32\)であるとき，\(\rm A\)を求めなさい． …

// // 連続する４つの自然数\(x\)，\(y\)，\(z\)，\(w\)が \(x^3+y^3+z^3=w^3\) をみたすとき，\(x\)，\(y\)，\(z\)，\(w\)を求めよ．ただし，\(x

// // １つのさいころを３回振り，出た目の数を順に\(a\)，\(b\)，\(c\)とする．このとき，\(\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right)=2\)となる確率を求めよ． ★文字の対等性ってやつです★

// // 正項級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)が収束し\(\displaystyle \lim_{n→\infty}\frac{b_n}{a_n}=1\)が成り立つとする．このとき，級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n\)は収束し \(\displaystyle \lim_{n→\infty}\frac{\displays…

// // 微分方程式 \(\left( y^{\prime} \right)^2=x\) を解け. ★チェンジアップみたいな問題ですが気をつけないと間違える★

// // 各項が正の数列\(\{a_n\} \)の，初項から第\(n\)項までの和\(S_n\)が \(\displaystyle S_n=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right) \) （ \(n=1\)，\(2\)，\(3\)，\(\ldots\) ） で表されるとき，一般項\(a_n\)を\(n\)の式で表せ． ★漸化式の形か…

// // 図のような，３種類の正三角形のカードがたくさんあります．これらを重ならないようにすき間なく並べて，１辺が \(7 \rm cm \) の正三角形を作ります．ただし，３種類のカードはそれぞれ少なくとも１枚は使います．３種類のカードの合計枚数が，もっと…

// // \(\alpha\)は\(1\)でない複素数で，\(\alpha^3=1\)をみたすものとする． \(\left( \alpha+1 \right)^{2006}=p+qi\) となる実数\(p\)，\(q\)の値を求めよ．ただし，\(i\)は虚数単位である． ★二項定理を使ってはいけません★

// // 図で，\(\angle x\)の大きさは何度ですか． ★\(a\)を用いてはいけません★

// // 次の行列式を因数分解せよ． \(\left| \begin{array}{cccc} x & 1 & 2 & 3 \\ 1 & x & 2 & 3 \\ 1 & 2 & x & 3 \\ 1 & 2 & 3 & x \\ \end{array} \right|\) ★各行の和は一定★

// // \(\left|x\right|<1\)とする．\(\displaystyle \left( \tan^{-1}x \right)^{\prime}=\frac{1}{1+x^2}\)を用いて，\(\tan^{-1}x\)の\(\rm Maclaurin\)展開を求めなさい. なお, \(\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots\) である． ★\(\left|x…

// // 図１のような円があります．この円の直径を引くために，たろうさんは図２のように作図しました．作図の手順は次のとおりです． 【1】 円と２点で交わるような直線を引き，交点を\(\rm A\)，\(\rm B\)とおく． 【2】交点の１つ（図２では\(\rm B\)）を…