【教員採用試験001】山梨県公立高校

下に示す【問題】に対して，ある生徒が次のような《解答》を示した．この《解答》は正しい結果を導いているが，説明不足の部分がある．それはどの部分か指摘せよ．また，結果として正答に至った理由を考察せよ．

【問題】　初項が\(1\)，公差が正の整数である有限な等差数列 \(a_1\)，\(a_2\)，…，\(a_n\) (\(n \geqq 3\)) がある．この数列の和が\(35\)であるとき，数列 \(\{a_n \}\)の各項を列挙せよ．

《解答》　公差を\(d\)，数列の和を\(S\)とおくと

　　　　　\(S=\displaystyle \frac{n}{2}\{2\cdot1+(n-1)d\}\)　だから

　　　　　\(\displaystyle \frac{n}{2}\{2+(n-1)d \}=35\)

　　　　　これを変形すると　\(n(n-1)d=70-2n\)

　　　　　\(n \geqq 3\)より　\(d=\displaystyle \frac{70-2n}{n(n-1)}=\displaystyle \frac{-70(n-1)+68n}{n(n-1)}=-\displaystyle \frac{70}{n}+\displaystyle \frac{68}{n-1}\)

　　　　　\(d\)は整数だから，\(n\)は\(70\)の約数であり，なおかつ \(n-1\)は\(68\)の約数となる．

　　　　　\(n≧3\)に注意すれば，これを満たす\(n\)の値は　\(n=5,35\)
　　　　　\(n=5\)のとき　\(d=3\)　これは\(d\)が正の整数であることに適する．
　　　　　\(n=35\)のとき　\(d=0\)　これは\(d\)が正の整数であることを満たさないから不適．
　　　　　以上から，求める数列 \(\{a_n \}\)は　\(1,4,7,10,13\)

★教員採用試験ではよくある形式だが題材が絶妙★