// 惑星の地表面から秒速\(x \rm m\)で真上にボールを投げ上げるときの，ボールの最高到達点の高さを\(y \rm m\)とすると，惑星\(\rm A\)では\(\displaystyle y = \frac{1}{15}x^2\)の関係があり，惑星\(\rm B\)では\(\displaystyle y = \frac{3}{7}x^2\)の…

// \(1\)から\(20\)までの整数の中から，どの２つの数の差\(2\)以上となるような３つの数を取り出す方法は全部で何通りあるか． ★\({}_{18} \rm C_{3}\)ですな． ★

// // 図で，点\(\rm A\)を通り\(\rm \triangle AOB\)の面積を二等分する直線と点\(\rm B\)を通り\(\rm \triangle AOB\)の面積を二等分する直線の交点の座標を求めなさい． ★つまり重心です★

// // 下の分数は，ある規則に従って並んでいる．\(\left[ \right]\)の中に入る分数を答えよ． \(\displaystyle \frac{1}{45}\)，\(\displaystyle \frac{1}{15}\)，\(\displaystyle \frac{1}{9}\)，\(\Biggl[ \Biggl]\)，\(\displaystyle \frac{9}{45}\) ★\(…

// // 自然数\(n\)に対して，\(\sqrt{n}\)に最も近い整数を\(a_n\)とする．例えば，\(a_1=1\)，\(a_2=1\)となる． \(\displaystyle \sum_{n=1}^{600}\frac{1}{a_n}\)を求めよ． ★任意の\(k \in \mathbb{N}\)に対し，\(\displaystyle \sum_{a_n=k}\frac{1}{a_…

// // \(a=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\)，\(b=\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\)のとき，\(a+b\)の値を求めなさい． ★\(a\)も\(b\)も最小多項式はまさかの２次式★

// // 図のように，円すいの母線\(\rm AB\)上に，\(\rm AC=CD=DB\)となる点\(\rm C\)，\(\rm D\)を通り，底面と平行な面で円すいを３つの立体ア，イ，ウに分ける．立体アの体積を\(1\)とするとき，立体ウの体積を求めよ． ★ちょっとしたミスを誘発しそうな問…

// // 方程式\(\left(n^2-3n+3\right)^{2n^2-23n+56}=1\)を満たす自然数\(n\)をすべて求めなさい． ★模範解答を作成するときに紛糾しそう★

// // \(x=1\)を含む開区間で定義された関数\(f\left(x\right)\)について，高校生に数学\(\rm I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I\)を指導する立場で，\(x=1\)において連続とはならない関数\(f\left(x\right)\)の例を２種類あげなさい． ★「指導する立場」「２…

// // 各項が正の数列\(\{a_n\} \)の，初項から第\(n\)項までの和\(S_n\)が \(\displaystyle S_n=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right) \) （ \(n=1\)，\(2\)，\(3\)，\(\ldots\) ） で表されるとき，一般項\(a_n\)を\(n\)の式で表せ． ★漸化式の形か…

// // 点\(\rm A \left( \it x_\rm 1 , \it y_\rm 1 \right)\)と直線\(ax+by+c=0\)の距離を\(d\)とする．\(d\)を表す式を導きなさい． ★阪大文系の類題だが，教科書よりキレイに証明したい★

// // １辺の長さが\(a\)の正四面体がある．ねじれの位置にある１組の対辺のそれぞれの中点を結んだ線分の長さを\(b\)とするときの\(a:b\)の比を求めよ． ★さまざまな解き方がありそう★

// // ２つの自然数\(m\)，\(n\)の最大公約数を\(G\)，最小公倍数を\(L\)とします． \(\left\{ \begin{array}{c} 2\log_{3}L-\log_{3}G=4+5\log_{3}2 \\ \log_{2}L+\log_{2}G=7+2\log_{2}3 \end{array} \right. \) が成り立つとき，\(m\)，\(n\)を求めなさい…

// // 数字が書かれた６枚のカード\(\fbox{1}\)，\(\fbox{2}\)，\(\fbox{3}\)，\(\fbox{4}\)，\(\fbox{5}\)，\(\fbox{6}\)と，記号が書かれた１枚のカード\(\fbox{X}\)がある．これら７枚のカードを無作為に横一列に並べたとき，\(\fbox{X}\)の左側に並んだ…

// // 図のように，円\(\rm O\)の半径\(\rm OA\)を対角線とする正方形がある．円の面積はこの正方形の面積の何倍か．ただし，円周率は\(3\)として計算する． ★円周率が\(3\)ということは円は正六角形ですね★

// // 次の式の値を求めよ． \(\displaystyle \frac{86^2-2 \times 86 \times 77 +77^2}{15^2}+\frac{31^2+2 \times 31 \times 13 +13^2}{55^2}\) ★この問題を作った人のセンスを感じる★

// // 下に示す【問題】に対して，ある生徒が次のような《解答》を示した．この《解答》は正しい結果を導いているが，説明不足の部分がある．それはどの部分か指摘せよ．また，結果として正答に至った理由を考察せよ． 【問題】 初項が\(1\)，公差が正の整数…