【大学入試063】首都大学東京

\(xy\)平面で\(x\)座標と\(y\)座標がともに自然数であるような点\(\left ( m , n \right ) \)の各々に，自然数\(a\left ( m , n \right ) \)が割り当てられている．\(a \left ( 1 , 1 \right ) = 1 \)であり，すべての\(m\)，\(n\)に対して次の規則が成り立っているとする．

　　\(a \left ( m+1 , n \right ) = a \left ( m , n \right ) + m + n \)
　　\(a \left ( m , n+1 \right ) = a \left ( m , n \right ) + m + n - 1 \)

各々の自然数\(n\)に対して\(a_n = a \left ( n , n \right )\)とおいて数列\( \left \{ a_n \right \} \)を定めるとき，\(a_{n+1}\)を\(a_n\)と\(n\)の式で表しなさい．

★この規則ですべての\(a\left ( m , n \right ) \)が一意存在するは前提です★