【大学入試065】山口大学

\(n\)を自然数とする．実数\(x\)に対し，\(x\)を超えない最大の整数を\([x]\)で表す．
数列\(\{ a_n \} \)が

　　\( a_n = [ \sqrt{n} ] \)

で定められ，

　　\(\displaystyle S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n \)
とするとき，次の等式を証明しなさい．

　　\(\displaystyle S_n = \left( n+ \frac{5}{6} \right) a_n - \frac{1}{2} {a_{n}}^{2} - \frac{1}{3} {a_{n}}^{3} \)

★解き方は平凡ですが結果はキレイですね★