// // 累乗の和について \(\displaystyle \sum_{k=1}^n k=\frac{1}{2}n(n+1)\)，\(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)，\(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3=\left \{ \frac{1}{2}n(n+1) \right \}^2\) が成り立ちます．数列\(\{ a_n \…

// // １辺が\(1\)の正七角形の対角線の長さは２種類あります．２種類の対角線の長さのうち，短いほうを\(x\)とするとき，\(x\)は，係数が整数である３次方程式の解の１つです．その３次方程式のうち，\(x^3\)の係数が\(1\)であるものを求めなさい． ★相似な…

// // \(x^8+4x^7+10x^6+16x^5+19x^4+16x^3+10x^2+4x+1\)を整数係数の範囲で因数分解しなさい． ★キレイに因数分解できます★

// // 図１のような円があります．この円の直径を引くために，たろうさんは図２のように作図しました．作図の手順は次のとおりです． 【1】 円と２点で交わるような直線を引き，交点を\(\rm A\)，\(\rm B\)とおく． 【2】交点の１つ（図２では\(\rm B\)）を…

// // 連続する２つの正の整数 \(m\)，\(n\) \(\left( m < n \right)\)があります。このとき，２次式 \(x^2±mx-n\) と \(x^2±nx+m\) はすべて係数が整数の範囲で因数分解できることを証明しなさい． ★細かい部分に気をつけないと足元をすくわれそう★

// // あるチョコレート菓子の箱には，おまけとしてシールが１枚ずつ入っている。シールは全部で20種類あり，菓子の箱に各シールが入っている確率は等しく\(\displaystyle \frac{1}{20}\)ずつである。すべての種類のシールを集めるためには，平均何個の菓子…

// // \(\displaystyle \sum^{\infty}_{k=1} \frac{k^3}{k!}\)を求めなさい． ★とりあえず約分したくなるんですが…★

// // ある100 円ショップでは，５本入りのボールペンセットとして，Ａ社製とＢ社製の２種類を調達している．全体の\(60\)%を調達しているＡ社製のボールペンセットに不良品が含まれている確率は\(0.01\)であり，残りの\(40\)%を調達しているＢ社製のボール…

// // \(n\)を\(2\)以上の整数とするとき，分数\(\displaystyle \frac{14n+3}{15n+2}\)が可約分数(分母，分子が約分できる分数)となるような\(n\)の一般形を求めなさい．また，そのときこの分数を約分して既約分数とした分数を求めなさい． ★既約分数である…

// // 周の長さ\(1\) の円の円周上に１点\(\rm A\) を固定し，次に，同じ円周上で一様に分布するように，別の点\(\rm B\) を取る。そして，それら２点で区切られてできる２つの弧\(\rm AB\) のうち，短いほうの長さを\(X\) とし，長いほうの長さを\(Y\) とす…

// // \(0\)～\(9\)の数字を１回ずつ使って10桁の数を作り，上から２桁の数が\(2\)で，３桁の数が\(3\)で，\(\cdots \cdots\)，\(n\)桁の数が\(n\) \(\left( n=2,3, \cdots ,10 \right) \)で割り切れるようにしなさい． ★解が一意存在であることが不思議★

// // \(\cos40^\circ\)，\(\cos80^\circ\)，\(\cos160^\circ\)の値を解とする整数係数の３次方程式を求めなさい．答えは最高次の係数が正，かつ係数全体の公約数が\(1\)以外にないように標準化した形で求めなさい． ★\(\cos40^\circ+\cos80^\circ+\cos160^\…