// // 極限\(\displaystyle \lim_{x \to +0} x^x\)を求めよ．ただし，\(x\)は実数とする． ★\(0^0\)の一解釈？★

// // \(p_1\)，\(p_2\)，\(p_3 \in \mathbb{R}^2\)を相異なる点とし，\(g:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\)を\(\displaystyle g(x) = \sum_{i=1}^{3} \| x - p_i \| ^4 \)で定める．\(g\)は最小値を唯一の点でとることを示せ． ★２直線の交点は１つというこ…

// // \(a\)，\(b\)を実数とする．\(\mathbb{R}\)上の\(C^2\)級関数\(F(x,y)\)に対し，極限 \(\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{F(ta,tb) + F(-ta,-tb) - 2F(0,0)}{t^2}\) を求めよ． ★\(C^2\)級な２変数関数とは？★

// // \(k>0\)とする．実数列 \(\{ a_n \}_{n=1}^{\infty}\)を \(a_1 = k\)，\(a_{n+1} = \sqrt{a_n + 1}\) （\(n = 1\)，\(2\)，\(\cdots\)） とする．任意の\(k > 0\)に対して，実数列\(\{ a_n \}\)は収束することを示し，その極限値を求めよ． ★場合分け…

// // 方程式\(x^3 + x^2 + ax + 1 = 0\)は負の解を持つことを示せ．ただし，\(a\)は定数とする． ★簡単すぎる気もするけど，意外と解けない？★

// // 複素正方行列\(A\)について，\(A\)が対角化可能な５次行列で\(A^3 + A = O\)とする．\(A\)の行列式が実数ならば，\(A\)は逆行列を持たないことを示せ． ★条件が交錯していますね★

// // \(X\)，\(Y\)を集合とし，\(F:X \to Y\)を写像とする．\(X\)が空集合でなく，\(F:X \to Y\)が単射ならば\(Y\)から\(X\)への全射が存在することを示せ． ★全射と単射がつながる★

// \(p\)を素数とする．元の個数が\(p^2\)の可換環を同型を除いて全て求めよ．ただし可換環は単位元を持つものとする． ★単位元を持つところが肝らしいですね★

// 時間と距離の比例関係の問題「\(2\)秒で\(\rm 5m\)は毎時何\(\rm km\)？」の問題では，「何＝ \( \left( 5 \times \left( 3600 \div 2 \right) \right) \div 1000\) 」が立式される．この立式を数学の推論として行いなさい．ここで「数学」の意味は，つぎ…

// ３次複素正方行列\(A\)で次の２条件をみたすものを一つ挙げよ． (1) \(^t A = - A\) (2) \(A\)は対角化できない ★フェイクが多い問題ですね★

// 集合\(A\)，\(B\)のいずれか一方のみに属す要素全体の集合を，\(A\)と\(B\)の対称差といって，\(A \triangle B\)で表す．以下で，\(A\)，\(B\)，\(C\)は集合であるとする．\(\left( A \triangle B \right) \cup C = \left( A \cup C \right) \triangle \l…

// 三次元ユークリッド空間\(\mathbb R^3\)の部分集合\(M = \left \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid x^2 + y^2 = 1 \right \} \)について，二次元球面\(S^2 = \left \{ (x,y,z) \mathbb \in \mathbb R^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 = 1 \right \} \)から二点 \(P=…

// 図のグラフについて，彩色多項式\(p_{\small G} (k) \)を求めよ． ★数学は不変量を見つける学問ですよ？★

収束する実数の数列の極限値はただ１つであることを示せ． ★自明だと高をくくってはいけません…複素数の世界では成り立たないですし★

// 半径\(a\)の円板内から点を無作為に抽出する試行を繰り返す．円板の中心から抽出点までの距離を表す確率変数を\(R\)とするとき，確率変数\(R\)の確率密度関数を求めよ． ★面積分の長さ？★

// ３次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}^3\)内の曲面で，ガウス曲率が至るところ\(0\)であっても主曲率は\(0\)でない例を挙げよ． ★ガウス曲率は主曲率の積だから例は結構ありそう★

// 集合\(X\)に対して，\(2^X\)は\(X\)の部分集合全体からなる集合を表すものとする．このとき，どのような集合\(X\)に対して，次の条件を満たす写像\(f : X \longrightarrow 2^X\)は存在しないことを証明せよ． 条件：集合\(2^X\)の任意の要素\(A\)に対し，…

// \(a < c < b \)とする．区間\( \left( a , b \right) \)で２回連続微分可能な関数\(f(x)\)に対して，極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\left( f(c+x) \right)^2 - f(c) f(c+2x)}{x^2}\) を求めよ． ★たしかに２回連続微分可能という条件が必…

// // \(\displaystyle \lim_{x \to 0+0} x^{(e^x-1)} =1\)を示せ． ★補完して考えるやつです★

// \(\displaystyle e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\) は無理数であることを証明せよ． ★方針は単純だけど演繹的に論じたい★

// 楕円 \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) （\(a\)，\(b\)は正の定数） について，この楕円を\(x\)軸の周りに回転させてできる楕円体に内接する直方体のうち，その体積が最大となるものの体積を求めなさい． ★安易に立方体と思わないこ…

\(z=x+yi\)（ただし\(x\)，\(y\)は実数）とし，\(\cos z\)の実部と虚部を\(x\)，\(y\)で表せ． ★微妙にひっかけ★ //

// \(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{e^x-1} dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+1}\)であることを示せ． ★形が美しい★

// \(503\)は素数であることを示せ． ★ある意味センスが必要かも★

// 二重実数列\(\{ a_{m,n} \}^{\infty}_{m,n=1} \)は次の条件をみたすとする． \(\left\{ \displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle 任意の整数n \geq 1に対して，ある\alpha_{n} \in \mathbb{R} が存在して \lim_{m \to \infty} a_{m,n}=\alpha_n \\ …

// 自然数\(n\)に対して， \(\displaystyle I_n=\int_{0}^{1} \frac{1}{\left( x^2+1 \right)^n}dx\) と定義する．\(2\)以上の自然数\(n\)に対して， \(\displaystyle I_n=\frac{1}{\left( n-1 \right)2^n}+\frac{2n-3}{2 \left( n-1 \right)}I_{n-1}\) が成…

// \(n\)を正の整数とする．長さ\(n\)の整数列\(a_1\)，\(a_2\)，\(a_3\)，\(\ldots\)，\(a_n\)に対して，第\(i\)項から第\(j\)項までの部分和 \(\displaystyle S_{i,j}=\sum_{k=i}^j a_k\) の最大値を求めたい．ただし，\(1 \leq i \leq j \leq n\)である．…

// // \(p\)を奇素数とする． \(a= \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & \cdots & p-1 & p \\ 2 & 3 & \cdots & p & 1 \\ \end{array} \right)\)，\(b= \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & \cdots & p-1 & p \\ p & p-1 & \cdots & 2 & 1 \\ \end{array} …

// // \(n\)を正整数とし，\(A\)を\(n\)次複素正方行列とする．不等式 \(\rm rank \it A \rm + rank \it \left(E_n-A \right) \geq n\) を示せ．ここで，\(E_n\)は\(n\)次単位行列である． ★階数の特徴づけが勝負★

// // \(n\)を自然数とし， \(A=\left[ \begin{array}{rr} \displaystyle \cos\frac{\pi}{n} & \displaystyle -\sin\frac{\pi}{n} \\ \\ \displaystyle \sin\frac{\pi}{n} & \displaystyle \cos\frac{\pi}{n} \\ \end{array} \right]\) とする．このとき，\(…