// // 実\(n\)次正方行列\(X\)で \(X^k \ne E_n\left ( 1 \leq k < n \right )\)，\(X^n=E_n\) となるものの例を作れ．ここで，\(E_n\)は単位行列を表す． ★点の移動と思えば★

// // サイコロ２つの目の和の期待値を求めよ．ただし，ぞろ目の時はもう一度振り，この２回の和を値とし，たとえば，\(\left( 6, 6 \right)\)，\(\left( 4, 4 \right)\)，\(\left( 2, 2 \right)\)，\(\left( 1, 4 \right)\)と出たら数字は\(29\)である． ★…

１組のトランプ（52枚）から無作為に13枚のカードを引く．引いた13枚のカードに４枚のエースが含まれている確率を求めなさい． ★13枚引いてもエースのフォーカードにはなりにくいんですね★

// // 次の極限値を求めなさい． \( \displaystyle \lim_{n \to 0} \frac{a^x-b^x}{x}\) （ただし，\(a\)，\(b\)は定数） ★指数と対数は表裏一体★

// // ある工業製品の故障の発生時間\(X\)は，次式の確率密度関数をもつ指数分布に従っているという． \( f(x)= \left\{ \begin{array}{l l} 0 & (x<0) \\ 0.0005e^{-0.0005x} & (x \geq 0) \end{array} \right. \) この製品が\(2000\)時間以内に故障が発生…

// // \(x\)の２次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の解が， \(\displaystyle x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) で与えられることを説明（証明・解説）せよ． ★高校の教科書どおりにやる必要はないはずです★

// // 実数\(x\)が\(\displaystyle 0

// // 数列\(\{ a_n \}\)において，\(a_1=a_2=1\)，\(a_{n+2}=a_n+a_{n+1}\)である．\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)とおくとき，\(S_n\)と\(a_{n+2}\)の間に成り立つ関係式を推定せよ．また，推定した関係式を数学的帰納法によって証明せよ． ★「推定せよ」と言…

// // 曲線\(y=f(x)\)上の点\(\rm P \left( \it x, \it y \right)\) における接線が常に\(x\)軸との交点\(\rm Q\)，\(y\)軸との交点\(\rm R\)を持つとき，\(\rm P\)が常に線分\(\rm Q\)\(\rm R\)の中点であるという条件を，\(y=f(x)\)に関する微分方程式で表…

// // 次の微分方程式を解きなさい． \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\) ★式はキレイなんですけど★

// // \(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy^2}{x^2+y^2}\)を求めよ． ★結果は予想できるが，それが正しいことを演繹したい★

\(n=0\)，\(1\)，\(2\)，\(\cdots\)に対して \(\displaystyle \int_{0}^{\Large\frac{\pi}{2}}\sin^nx dx= \int_{0}^{\Large\frac{\pi}{2}}\cos^nx dx\)を示せ． // // ★初見だとビックリする関係かも★

// // 無限級数 \(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\log n}\) が収束するかどうかを判定せよ． ★収束しそうなのに…★

円を４分割して，１つを当たりとするとき，円をまわして３本矢を投げてすべて当たりになる確率はいくらか． ★４等分と書かれていないのはワナでしょうか？★

// // \(a>0\)のとき，\(\displaystyle \int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}dx = \pi \)を満たす\(a\)の値を求めよ． ★図形的な視点で解いても減点されないのだろうか★

// // 袋の中に，数字\(0\)の書かれたカードが２枚と，数字\(1\)の書かれたカードが３枚入っている．この袋から続けて２枚カードを取り出したとき，１枚目のカードの数字を\(X\)，\(2\)枚目のカードの数字を\(Y\)とする．このとき，取り出したカードは袋に戻…

// // \(1\)以上の任意の整数\(n\)に対して，同じ数字を\(3^n\)個並べてできる\(10\)進\(3^n\)桁の整数は\(3^n\)で割りきれることを，\(n\)に関する数学的帰納法で証明せよ． ★「九去法」の一般化です★

// // 平面上の異なる２つの定点\(\rm A\)，\(\rm B\)に至る距離の比が\(m:n\)（\(m\)，\(n>0\)）である点の軌跡（そのような点全体のなす図形）を求めよ． ★場合分けが必要です★

// // 行列\(A=\left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ -5 & -3 \\ \end{array} \right)\)が与えられている． \(P =I+A+A^2+A^3+\cdots+A^{100}\)を計算しなさい．ここで，\(I\)は単位行列である． ★手を動かしながら考えてみよう★

// // １つのサイコロを振り，\(1\)が出たら再びサイコロを振り，\(1\)が出る限りサイコロを振り続け，\(2\)から\(6\)が出たら終了する．出る目の数の合計の期待値を求めよ． ★方針を誤ると途轍もなく大変★

ふつうの計算では加算・減算では同じ種類の量どうしの，また乗算は異なる種類の量どうしの計算であることが多い．例えば，「重さ＋長さ」や「金額×金額」は無意味だが，「長さ＋長さ＝長さ」，「単価×個数＝金額」には意味がある．しかし例外もある．同種の…

// // 次の微分方程式を解きなさい． \(\displaystyle \frac{dy}{dx}-y=e^x\) ★特殊解を見つけられるか★

// // 次の不定積分を求めよ． \(\displaystyle \int \frac{1}{e^x+1}dx\) ★しっかり学んでいるかを判定するにはよい問題★

// // 転置行列が逆行列となる正方行列を直交行列という． 直交行列の行列式は\(1\)または\(-1\)であることを示せ． ★出発点は問題文のニュアンスから見極める★

// // 次の数列\(\{ a_n \}\) は， ある有限の値に収束することを示せ． \(a_1=\sqrt{2}\)，\(a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\) ★単調かつ有界であることを示すだけでよい★

// // \(A\)を正則行列とする． \(A\) の固有値の一つが\(\lambda\)のとき，\(\displaystyle\frac{1}{\lambda}\)が\(A\)の逆行列\(A^{-1}\) の固有値になることを示せ． ★正則行列の固有値が\(0\)でないことを証明する？★

// // \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n^2}+\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+\left(n-1\right)^2}\right)=\frac{\pi}{4}\) となることを示せ． ★よく見かける問題ですがキレイに解けるので好き★

// // 積分 \(\displaystyle \int_0^{\infty}e^{-x}\sin x dx\) を求めなさい. ★積分区間の工夫が肝心★

// // 微分方程式 \(\left( y^{\prime} \right)^2=x\) を解け. ★チェンジアップみたいな問題ですが気をつけないと間違える★

// // \(\left|x\right|<1\)とする．\(\displaystyle \left( \tan^{-1}x \right)^{\prime}=\frac{1}{1+x^2}\)を用いて，\(\tan^{-1}x\)の\(\rm Maclaurin\)展開を求めなさい. なお, \(\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots\) である． ★\(\left|x…