// // \(z = (1 + i)^n - (1 − i)^n\)とするとき，\(|z|\)を求めよ．ただし，\(i\)を虚数単位 \((i^2 = −1)\)，\(n\)は自然数とする． ★図形的に考えたくなる罠★

// // \(11\)で２回， \(3\)で２回わり切れる整数のうち，最も大きい４けたの整数を答えなさい． ★問題の解釈によっては\(7623\)★

// // \(1\)から\(9\)までの数字を１つずつ書いた９枚のカードがある．これらのカードをよくきって左から１列に並べ，左から\(n\)枚目までのカードに書かれた数の和を\(S_n\)とするとき，\(S_1\)，\(S_2\)，\(\cdots\)，\(S_9\)のいずれかが\(11\)となる確率…

// // 等式\(24^2+27^2+29^2+30^2=p^2+q^2+r^2+s^2\)を満たす正の整数\(p\)，\(q\)，\(r\)，\(s\)を求めなさい．ただし，\(p>24\)，\(p \leqq q \leqq r \leqq s\)とする． ★四次元版ピタゴラス★

// // \(X\)，\(Y\)を集合とし，\(F:X \to Y\)を写像とする．\(X\)が空集合でなく，\(F:X \to Y\)が単射ならば\(Y\)から\(X\)への全射が存在することを示せ． ★全射と単射がつながる★

// 数列の和の公式で ( ) の中に入る式を求めよ． \(\displaystyle \sum_{k=1}^n \Bigl( \Bigr) = n^3\) ★見せ方を変えるとビビるというやつです★

// \(100 \div 100 - 100 \div ( 100 + 100 ) - 100 \div 100 \div 100\) ★単純に面白い★

// 三辺の長さ\(x\)，\(y\)，\(z\)がすべて自然数であり，\(x+y+z=100\)，\(1 \leqq x \leqq y \leqq z\)を満たす三角形について考える．ただし，合同な三角形は問一視して考える．与えられた条件を満たす三角形は全部で何個あるか． ★上手な融合問題ですね★

\(\displaystyle \sqrt{2010 \times 2006 + 4}\)を計算せよ． ★出題者は精一杯楽しんでいますね★ //

// \(p\)を素数とする．元の個数が\(p^2\)の可換環を同型を除いて全て求めよ．ただし可換環は単位元を持つものとする． ★単位元を持つところが肝らしいですね★

// 次の行列\(B\)の\(B^n\)を求めよ． \( \displaystyle B= \left( \begin{array}{ccc} x & 0 & 0 \\ 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & x \\ \end{array} \right) \) ★予想外な復活が見られる★

// \(1\)辺が\(1\)の正方形を縦に\(3\)個，横に\(3\)個すき間なく並べ，図のように点\(\rm A\)，\(\rm B\)，\(\rm C\)，\(\rm D\)をとりました．このとき，四角形\(\rm ABCD\)の面積は何\(\rm cm^2\)です． ★ありがちな問題と思っているとハマるかも★

// \(n \geqq 2\)であるような自然数\(n\)に対して \(1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + \cdots \cdots + (n - 1) \times n \times (n + 1 )\) \(= (1 + 2 + 3 + \cdots \cdots + n)(2 + 3 + \cdots \cdots + n)\) が成り立つことを示せ． ★左辺…

// \(111\)個の玉と，中に何も入っていない赤い箱と青い箱がある．それぞれの玉には\(1\)から\(111\)までの異なる整数が\(1\)個の玉につき\(1\)つだけ書いている．これら\(111\)個の玉を，書かれた数が小さい順に\(1\)個ずつ赤い箱または青い箱に入れていく…

// 時間と距離の比例関係の問題「\(2\)秒で\(\rm 5m\)は毎時何\(\rm km\)？」の問題では，「何＝ \( \left( 5 \times \left( 3600 \div 2 \right) \right) \div 1000\) 」が立式される．この立式を数学の推論として行いなさい．ここで「数学」の意味は，つぎ…

// \(0\)と\(1\)のみを成分とする\(2 \times 3\)行列\(A\)で， \(\displaystyle {A}\,{^t\!A} = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right ) \)，\(\displaystyle {^t\!A}\,{A} = \left ( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\…

// \(\rm A\)，\(\rm B\)，\(\rm C\)の３人が，たすぎをつないで図のようなコースを走った．スタートしてからゴールするまでに要する時間が最も短くなるようにたすきをつなぐ地点を決めるとき，要する時間はいくらか．ただし，平坦な道，上り坂，下り坂にお…

// 図のように，１辺\(\rm 8 cm\)の正三角形のそれぞれの辺を直径とする半円をかきました．かげをつけた部分の面積は，何\(\rm cm^2\)ですか． ★キレイに解けるが円周率は\(\pi\)でいいのかな？★

// 楕円\(\displaystyle \frac{x^2}{17}+\frac{y^2}{8}=1\)の外部の点\(\rm P \left ( \it a , b \rm \right )\)からひいた２本の接線が直交するような点\(\rm P\)の軌跡を求めよ． ★最後まで気が抜けない★

// // 図の\(\rm \triangle ABC\)において，辺\(\rm BC\)の長さを求めよ． ★三角比を知っている高校生はハマりそう★

// ３次複素正方行列\(A\)で次の２条件をみたすものを一つ挙げよ． (1) \(^t A = - A\) (2) \(A\)は対角化できない ★フェイクが多い問題ですね★

// \(m\)，\(n\)は\(2\)以上の整数とし， \(f(x,y) = x^m + y^n \)とする．\(f(x,y)\)が極値をもつための\(m\)，\(n\)の条件を求めよ．極値をもつときは，極値を求めよ． ★なんか楽しそうな問題ですが結果に期待してはいけません★

ある規則にしたがって分数が下のように並んでいます． \(\displaystyle \frac{1}{7}\)，\(\displaystyle \frac{2}{8}\)，\(\displaystyle \frac{3}{9}\)，\(\displaystyle \frac{4}{10}\)，\(\displaystyle \frac{5}{11}\)，\(\displaystyle \frac{6}{12}\)…

// 夫婦と子供１人の３人家族が新車を購入することになった．車体の色を決める際，父親は白，母親と子供は赤と意見が分かれた．したがって，以下に述べる方法を用いて車体の色を決定することにした．まず，中身の見えない袋の中に白球１個と赤球２個を入れる…

// \(p\)，\(q\)を自然数とする．不等式\(2<\sqrt{p}

// 集合\(A\)，\(B\)のいずれか一方のみに属す要素全体の集合を，\(A\)と\(B\)の対称差といって，\(A \triangle B\)で表す．以下で，\(A\)，\(B\)，\(C\)は集合であるとする．\(\left( A \triangle B \right) \cup C = \left( A \cup C \right) \triangle \l…

// 有理関数\(\displaystyle \frac{4(3+3x-x^2)}{(x-1)^2(x+1)}\)の６次導関数を求めなさい． ★このままやる人はいないですよね\(\cdots\)★

// 惑星の地表面から秒速\(x \rm m\)で真上にボールを投げ上げるときの，ボールの最高到達点の高さを\(y \rm m\)とすると，惑星\(\rm A\)では\(\displaystyle y = \frac{1}{15}x^2\)の関係があり，惑星\(\rm B\)では\(\displaystyle y = \frac{3}{7}x^2\)の…

// いろいろな整数や分数\(\fbox{ア}\)について，\(\left< \fbox{ア} \right> \)を次のように決めます． \(\fbox{ア}\)が整数のとき \(\left< \fbox{ア} \right> = \fbox{ア}\)とします． （例）\(\left< 3 \right> = 3 \)，\(\displaystyle \left< \frac{20…

// \(n\)を自然数とするとき，\(\left( 2 - \sqrt{3} \right) ^n\)は，\(\sqrt{m} - \sqrt{m - 1}\)（\(m\)は自然数）の形で表されることを示せ． ★共役なものまで含めて考えるとキレイなのかな？★