// \(\triangle \rm ABC\)と\(\triangle \rm DEF\)は合同な直角二等辺三角形であり，\(\rm AB=4\)，\(\rm AP = D Q = \it x\)である．\(\rm AC\hspace{.25em} / \hspace{-.67em}/ \hspace{.25em}DE\)のままで向きを変えずに，点\(\rm Q\)が点\(\rm P\)に重な…

// 三次元ユークリッド空間\(\mathbb R^3\)の部分集合\(M = \left \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid x^2 + y^2 = 1 \right \} \)について，二次元球面\(S^2 = \left \{ (x,y,z) \mathbb \in \mathbb R^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 = 1 \right \} \)から二点 \(P=…

// 関数 \(y = |x^3 − 3x| \)の増減をしらべ，極値を求め，かつ，グラフの概形を描け． ★高校生に解かせると，きっとひっかかる★

// 次のように，ある規則にしたがって分数が並んでいます． \(\displaystyle \frac{1}{3}\)，\(\displaystyle \frac{3}{5}\)，\(\displaystyle \frac{5}{7}\)，\(\displaystyle \frac{7}{9}\)，\(\cdots \cdots\) この分数を小数で表したとき，初めて\(0.999…

// \(a\)を正の定数とする．次の等式が成り立つとき，\(\log a\)の値を求めよ．\(\displaystyle \frac{\displaystyle \int_{1}^{e} \log \left( ax \right)dx}{\displaystyle \int_{1}^{e} xdx}=\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{\log \left( ax \right)}{x…

// 図のように，\(\rm AB=8\)，\(\rm BC=9\)の長方形\(\rm ABCD\)があります．その中に互いに外接し，各辺に接している半径が等しい２つの円\(\rm O\)，\(\rm O^{\prime}\)があるとき，２つの円の中心間の距離を求めなさい． ★よく数値調整をしましたね★

// 図のグラフについて，彩色多項式\(p_{\small G} (k) \)を求めよ． ★数学は不変量を見つける学問ですよ？★

// \(A\)，\(B\)を２次の正方行列，また\(O\)を零行列，\(E\)を単位行列とする．次の命題は正しいか？ 正しければ証明し，正しくなければ反例（成り立たないような\(A\), \(B\)の例）をあげよ． \(A^2 + 2A − E = O \)が成り立てば\(A\)は正則行列である． ★…

// \(\rm A\)さんは\(100 \rm m\)を\(9.58\)秒で走ることができます．この速さでマラソン（\(42.195 \rm km\)）を走ることができたとすると，\(\fbox{ ア }\)時間\(\fbox{ イ }\)分\(\fbox{ ウ }\)秒でゴールに着きます．\(\fbox{ ア }\)，\(\fbox{ イ }\)，…

// \(n\)を自然数とする．実数\(x\)に対し，\(x\)を超えない最大の整数を\([x]\)で表す．数列\(\{ a_n \} \)が \( a_n = [ \sqrt{n} ] \) で定められ， \(\displaystyle S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n \)とするとき，次の等式を証明…

長方形の紙を同じ方向にくり返して半分に折っていくことを考えます．10回折ったとき，折り目の本数は何本になるか答えなさい．ただし，解答用紙を折ってはいけません． ★10回折ることは不可能ですからね？★

収束する実数の数列の極限値はただ１つであることを示せ． ★自明だと高をくくってはいけません…複素数の世界では成り立たないですし★

// 関数\(f(x)=x^{\frac{1}{5}}\)のテーラー展開を用い，\(30^{\frac{1}{5}}\)の小数展開を誤差 （剰余項 \(R_n\)）\(<0.0001\) の範囲で求めよ． ★どこを中心に展開するかにかかっている★

// \(1\)から\(20\)までの整数の中から，どの２つの数の差\(2\)以上となるような３つの数を取り出す方法は全部で何通りあるか． ★\({}_{18} \rm C_{3}\)ですな． ★

ある店で，くしカツとコロッケとミンチカツを買います．くしカツ７本入りのパックは６本分の値段で，コロッケ５個入りのパックは４個分の値段で買うことができます．できるだけ安く買うと，くしカツ５本，コロッケ６個，ミンチカツ３枚で930円，コロッケ12個…

// １辺の長さが\(1\)の立方体がある．この立方体の８個の頂点のうちの４個を頂点とする正四面体と，残りの４個を頂点とする正四面体の共通部分を求めよ． ★該当しない部分を除外していくと特別な立体になる★

// 底面の円の半径が\(1\)，母線\(\rm OA\)の長さが\(6\)の円すいがある．図のように，この円すいの側面に沿って点\(\rm A\)から点\(\rm A\)まで１本のひもを，ひもの長さが最も短くなるように２周巻きつける．ただし，ひもの長さは無視できるものとする．ひ…

// 半径\(a\)の円板内から点を無作為に抽出する試行を繰り返す．円板の中心から抽出点までの距離を表す確率変数を\(R\)とするとき，確率変数\(R\)の確率密度関数を求めよ． ★面積分の長さ？★

// \(X_n\)（\(n\)：自然数）を対角成分が\(0\)で，ほかの成分はすべて\(1\)である\(n\)行\(n\) 列の行列とする．\(X_n\)の行列式の値を推測し，それが正しいことを示しなさい． ★推測するのは簡単なんですが★

// 図で，点\(\rm P\)は\(\left( 0, -2 \right)\)，点\(\rm Q\)は\(\left( 0, 5 \right)\)を同時に出発します．点\(\rm P\)は直線\(y=x-2\)上を，点\(\rm Q\)は直線\(y=2x+5\)上を動きます．また，点\(\rm P\)の\(x\)座標は\(1\)秒間に\(1\)ずつ増加し，点\(…

// ＡとＢが，どちらかが５勝した時点で終了する約束で，将棋の対戦を繰り返したところ，２人の対戦は，第９戦まで続いた結果，Ａの５勝４敗で終わった．Ａが５勝するまでの経過について，次のア～ウのことが分かっている． ア Ａの勝ち数がＢの勝ち数を下回…

// \(\displaystyle \frac{1}{3}\)より大きく，\(\displaystyle \frac{1}{2}\)より小さい数について，分母が\(108\)の分数は，何個ありますか．約分のできる分数はのぞいて答えなさい． ★膨大な数でなければ数えたほうが早い★

// \(xy\)平面で\(x\)座標と\(y\)座標がともに自然数であるような点\(\left ( m , n \right ) \)の各々に，自然数\(a\left ( m , n \right ) \)が割り当てられている．\(a \left ( 1 , 1 \right ) = 1 \)であり，すべての\(m\)，\(n\)に対して次の規則が成り…

// // \(a\)，\(b\)は正の数とする．図において点\(\rm O\)は原点，点\(\rm A\)の座標は\(\left ( 2a , 0 \right ) \)，点\(\rm B\)は\(\rm BO=BA\)を満たす点で，その\(y\)座標を\(b\)とおく．\(\rm \triangle OAB\)の面積が\(12\)であるとき，\(a=3\)のと…

// ３次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}^3\)内の曲面で，ガウス曲率が至るところ\(0\)であっても主曲率は\(0\)でない例を挙げよ． ★ガウス曲率は主曲率の積だから例は結構ありそう★

相関係数とはどのようなものか説明するとともに，その結果を用いる場合に注意すべき点を２つあげよ． ★大きく３種類あるうちの２種類を書けばよい★

// 太郎と次郎がＡ町と\(1200 \rm m\)はなれたＢ町の間を往復しました．太郎は行きの途中で１度だけ\(30\)分の休けいを取りました．次郎は太郎より\(20\)分遅れてＡ町を出発し，１度も休けいを取りませんでした．また次郎の行きの速さは帰りの速さの\(1.5\)…

// 実数\(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\) が，\(\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\)，\(\displaystyle 0 < \beta < \frac{\pi}{2}\)，\(\displaystyle 0 < \gamma < \frac{\pi}{2}\)，\(\displaystyle \alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}\)…

// \(1\)から\(8\)までの８個の整数から４個を選び，それらの積を\(a\)とし，残り４個の積を\(b\)とする．このとき，\(a=b\)となることがあるか．あればその値を求め，いつも\(a \ne b\)であれば理由を述べよ． ★\(a=b\)のとき\(a^2=8!\)★

// 集合\(X\)に対して，\(2^X\)は\(X\)の部分集合全体からなる集合を表すものとする．このとき，どのような集合\(X\)に対して，次の条件を満たす写像\(f : X \longrightarrow 2^X\)は存在しないことを証明せよ． 条件：集合\(2^X\)の任意の要素\(A\)に対し，…