// // 実数列\(\{ a_n \}\) が条件 \(a_n+a_{n+1}+a_{n+2}=0\) \(\left(n=1,2,3,\ldots \right) \) を満たすとき，級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}\)は収束することを示しなさい． ★どこで切っても同じ値の金太郎飴★

半円の重心を求めなさい． ★見た目以上にヘビーです★

// // \(\{ a_n \}\)は各項が実数である数列とする．級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|\) が収束するならば，\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (a_n)^2\)は収束することを示せ． ★やはり無限級数の和は部分和の極限★

// // \(G\)を群とし，\(H_1\)と\(H_2\)を\(G\)の部分群とする．\(H_1 \cup H_2=G\)ならば，\(H_1=G\)または\(H_2=G\)となることを証明せよ． ★群というものを理解していれば当然なのだが…★

// // 集合\(X\)，\(Y\)，\(Z\)と，\(X\)から\(Y\)への写像\(f\)， および\(Y\)から\(Z\)への写像\(g\)があるとき，合成写像\(g \circ f\) が全単射であるが，\(f\)，\(g\)のいずれも全単射ではないような例を作れ． ★恒等写像は全単射★

// // 閉区間 \(I=[0,1]\)と単位円周 \(S=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2=1 \}\)を考える．連続写像 \(f:I \to S\)で\(f(I)=S\)となるものの例をあげよ． ★単射な写像は作れない★

// // 集合\(X\)の２点\(P\)，\(Q\)に対して， \(d\left( P,Q \right) =\left\{ \begin{array}{c} 0 \left( P=Q \right) \\ 1 \left( P\neq Q \right) \end{array} \right. \) とおくと，この\(d\left( P,Q \right)\)は距離の公理を満たすことが知られている…

// // \(f: \left[ 0 , \infty \right) \to \mathbb{R}\)を連続関数とする．\(0 \leq a < b\)なるある実数\(a\)，\(b\)に対し,\(\left[ a, b \right]\)上で\(f(x)\geq 0\)であり，\(\displaystyle \int_a^b f(x) dx=0\)ならば，\(\left[ a, b \right]\)上で\…

// // 以下の論理式が恒真式であることを，真偽表によって示せ． \(\left( \left( \phi \to \psi \right) \to \phi \right) \to \phi \) ★誰しも悩む「仮定が偽ならば命題は真」★

すべての頂点が１つの正方形の辺上にとれるような正多角形をすべて求めよ． ★円をうまく利用したい★

// // 自然数の対を入力にとる次のようなアルゴリズム\(F\)を考える． \( F(m,n)= \left\{ \begin{array}{l l} n+1 & m=0 のとき \\ F(m -1,1) & m \neq 0 かつ n=0 のとき \\ F(m -1,F(m,n -1)) & m \neq 0 かつ n\neq 0 のとき \end{array} \right. \) す…

// // \(X\)を\(1\)以上\(2012\)以下の全ての偶数の和，\(Y\)を\(1\)以上\(2012\)以下の全ての奇数の和とする．\(X-Y\)はいくつか． ★\(X\)の和，\(Y\)の和を求めるようでは悲しい★

// // \(\mathbb{R}^2\)で定義された二変数関数を\(f(x,y)\)とする．\(x\)に関する偏導関数\(f_x\)と\(y\)に関する偏導関数\(f_y\)が存在して\(f_x=f_y\)となるとき，一変数関数\(g(t)\)が存在して\(f(x,y)=g(x+y)\)となることを証明せよ．また，これを用い…

// // 次の不定積分を計算しなさい． \(\displaystyle \int \frac{x^4}{x^4+4}dx\) ★基本的なことを積み重ねることの大切さ★

// 曲線\(x^2+y^4=2\)の上を動く点から，点\(\left( 0,1 \right)\)までの距離の最大値および最小値と,それらを与える点の座標を求めよ． ★計算で解決するばかりが数学ではない★

// // 空でない集合と写像の列 \(A \longrightarrow \hspace{-1.35em} \raise{.25ex}^f \hspace{0.85em} B \longrightarrow \hspace{-1.35em} \raise{.25ex}^g \hspace{0.85em} C \longrightarrow \hspace{-1.35em} \raise{.25ex}^h \hspace{0.85em} D\) に…

// // 辺の長さの総和が\(12\)であるような直方体のうちで表面積が最大になるものを求めよ． ★当然ながら立方体なんですが★

// // \(\rm Arc\hspace{-.15em} \tan \it x \) を\(\displaystyle \tan x\left( -\frac{\pi}{2}

// // 次の極限値を求めよ． \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin \left( \sin 8x \right)}{\sin x+3x}\) ★ロピタル中毒の人に灸をすえるための問題？★

// // 複素数を成分とする\(m × n\)行列\(A\)と\(n × m\)行列\(B\)に対し， \(AB=I_m\)，\(BA=In\) が成立するならば，\(m=n\)であることを示せ．ただし，\(I_k\)は\(k\)次単位行列である. ★行列の積の定義から明らか？★

// // 次の行列を\(A\)とおく． \(\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right)\) \(A^2\)，\(A^3\)，\(A^4\)を求めよ． また，その結果を一般化し，非負整数\(n\)に対して，\(A^{…

// // 数列\(\displaystyle \{a_n\}_{n=1}^{\infty}\)で\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}na_n=0\)かつ\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)が発散する例をつくれ． ★「発散」とは「収束しない」ということ★

// // 実数\(x\)に対して，\(\ell \leqq x<\ell+1\)をみたす整数\(\ell\)を\([x]\)と表す．数列\(\{a_n\}\)を \(a_n=\displaystyle \frac{n}{[\sqrt{n}]}\) （\(n=1\)，\(2\)，\(3\)，\(\cdots\)） で定め，\(S_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k\)とおく．…

// // \(p\)を\(3\)以上の素数とし，\(\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/\mathbb{Z}_p\)を位数\(p\)の有限体とする． このとき，方程式\(X^2+Y^2+Z^2=0\)は\(\mathbb{F}_p\)において\(\left(X,Y,Z \right)≠\left(0,0,0 \right)\)なる解を必ず持つことを示せ．なお，…

// // \(n\)を自然数とし，\(1\)，\(2\)，\(\ldots\)，\(n\)の番号が書かれた小円を円周上，時計回りに順に配置する．また，\(1\)，\(2\)，\(\ldots\)，\(n\)の番号が書かれた小正方形を円周上，反時計回りに\(k\)番目の小円から順に配置する． 図は\(n=6\)…

// // \(x>0\) のとき，不等式 \(\displaystyle\left|\sin\frac{1}{x^2}\right|\leq\min\left\{1,\frac{1}{x^2}\right\}\) が成り立つことを示せ．また，不等式 \(\displaystyle \int_{0}^{\infty}\left|\sin\frac{1}{x^2}\right|dx\leq2\) が成り立つことを…

// // \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\)は実数列で, 任意の正整数\(k\)について \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(a_{n+k}-a_n\right)=0\) をみたすとする. このとき, この数列\(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\)は収束するか？ 理由をつけて答えよ. ★\(k=1\)のと…

// // 正項級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)が収束し\(\displaystyle \lim_{n→\infty}\frac{b_n}{a_n}=1\)が成り立つとする．このとき，級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n\)は収束し \(\displaystyle \lim_{n→\infty}\frac{\displays…

// // 次の行列式を因数分解せよ． \(\left| \begin{array}{cccc} x & 1 & 2 & 3 \\ 1 & x & 2 & 3 \\ 1 & 2 & x & 3 \\ 1 & 2 & 3 & x \\ \end{array} \right|\) ★各行の和は一定★

// // \(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}} \left( a>0 \right) \)によって与えられる曲線がある．この曲線の表す図形について周の全長を求めよ． ★アステロイドの周長はキレイな値★