// // ジョーカーを除く１組52枚のトランプのカードを１列に並べる試行を考える．番号\(7\)のカードが２枚ずつ隣り合い，４枚連続しては並ばない確率を求めよ． ★絶望的に低い確率ではないようです★

男子６人と女子３人がいる．円形に並ぶとき，どの女子も隣り合わない並び方は何通りあるか． ★合コン？ キャバクラ？★

// // 以下の４つの数のうち，１番大きな数と１番小さな数はどれか． \(7^{777}\)，\(10^{7 \log _{10}7}\)，\(7^{(7^7)}\)，\(7777777\) ★大穴炸裂？★

// // \(2n\)個の白玉と\(n\)個の赤玉をでたらめに並べる．円周状に並べるときに赤玉どうしが隣り合わない確率を求めよ． ★判断に困る問題ですね…★

// // 次のような競技を考える．競技者がサイコロを振る．もし，出た目が気に入ればその目を得点とする．そうでなければ，もう１回サイコロを振って，２つの目の合計を得点とすることができる．ただし，合計が\(7\)以上になった場合は得点は\(0\)点とする．…

// // 正の整数\(n\)で\(n^n+1\)が\(3\)で割り切れるものをすべて求めよ． ★\(3\)を法としてダメなら法とする数を大きくすれば★

// // 数列\(\{a_n\} \)を，次の条件(i)および(ii)をみたすように定める． (i) \(a_1=0\)，\(a_2=3\) (ii) \(3\)以上の自然数\(n\)に対して，第\(\left( n-1 \right)\)項\(a_{n-1}\)が初項\(a_1\)から第\(\left( n-2 \right)\)項\(a_{n-2}\)までのどの項の値…

// // 点\(\rm O\)を中心とする半径\(1\)の円周上に２点\(\rm A\)，\(\rm B\)をとり，\(\angle \rm AOB=2\theta\)とする．\(\theta\)の範囲を\(\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}\)とするとき，\(\rm \triangle AOB\)の内接円の半径の最大値を求めよ． ★…

// // 数列\(\{ a_n \}\)を\(a_1=a\)，\(a_2=b\)，\(a_{n+2}=a_{n+1}-a_n\) （\(n \geqq 1\)）で定める．\(a=15\)°，\(b=75\)°のとき， \(\sin a_1+\sin a_8+\sin a_{15}+\sin a_{22}+\sin a_{29}+\sin a_{35}\) の値を求めよ． ★数列は「数」の「列」ですよ…

// // ３点\(\rm A\)，\(\rm B\)，\(\rm C\)がこの順に１直線上に並んでいて\(\rm AB=1\)とする．\(\rm B\)を通り直線\(\rm AC\)に直交する直線\(\ell\)が与えられているとき， \(\rm BD^2=BC\) をみたす\(\ell\)上の点\(\rm D\)を作図する方法をその理由と…

// // \(xy\)平面において，点\(\left( x_0,y_0 \right)\)と直線\(ax+by+c=0\)の距離は \(\displaystyle \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) である．これを証明せよ． ★教科書どおりに証明する必要はないですよ★

// // 次の条件(a)，(b)をともに満たす実数の組（\(p\)，\(q\)，\(r\)）をすべて求めよ． (a) \(p\)，\(q\)，\(r\)の絶対値は等しい (b) ３次方程式\(x^3+px^2+qx+r=0\)は，絶対値が\(1\)であるような虚数解をもつ ★\(p\)，\(q\)，\(r\)のうちの少なくとも２…

// // \(abc=n\)の時，\(\displaystyle \frac{3a}{ab+a+1}+\frac{3nb}{bc+nb+n}+\frac{3c}{ca+c+n}\)の値を求めよ．ただし，\(a\)，\(b\)，\(c\)はすべて自然数とする． ★テストのときは，\(a=b=c=n=1\)として計算する？★

// // 表の出る確率が\(\displaystyle \frac{1}{3}\)の特殊な硬貨を\(5\)回続けて投げる．\(5\)回目に，表が出て，かつ表の出た回数が\(k\)回となる確率を\(P_k\)とする（\(k=1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)）．このとき，\(P_1+P_2+P_3+P_4+P_5\)の値はい…

// // \(n=0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)に対し， \(\displaystyle \int_{-1}^{1} x^nf(x) dx =0\) を同時に満たす\(4\)次式\(f(x)\)を求めよ．ただし，\(f(x)\)の\(x^4\)の係数は\(1\)とする． ★結果的に偶関数★

// 数列\(\{a_n\}\)は \(a_1=1\)， \(\displaystyle a_n=\frac{n^2+n+1}{n^2-n+1}a_{n-1}\) （\(n \geqq 2\)） をみたしている．\(\{a_n\}\)の一般項を\(n\)を用いて表せ． ★絶妙な球速のストレート★

// // 数列\(a_1\)，\(a_2\)，\(\cdots\)，\(a_n\)，\(\cdots\)は \(\displaystyle a_{n+1}=\frac{2a_n}{1-a_n^2}\)， \(n=1\)，\(2\)，\(3\)，\(\cdots\) をみたしているとする． \(\displaystyle a_1=\frac{1}{\sqrt{3}}\)とするとき，一般項\(a_n\)を求め…

// // 次のようなゲームを考える．成功の確率が\(p \left( 0

// // \(\mathbb{Z}_2\)を\(0\)と\(1\)とから成る集合\(\left( \mathbb{Z}_2=\{0,1\} \right)\)とし，この\(\mathbb{Z}_2\)に演算\(\oplus\)を次のように定義する． \(a \oplus b=a+b\)を \(2\)で割ったときの余り． すべての場合を書き下すと，\(0 \oplus 0…

// // \(f \left( x \right)=8x^4-8x^2+1\)のとき，\(f \left( \cos \theta \right)=f \left( \sin \theta \right)=\cos 4\theta\)であることを証明せよ． ★４倍角の公式？★

// // \(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\)は相異なる複素数で， \(\alpha+\beta+\gamma=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=0\) を満たすとする．このとき，\(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\)の表す複素数平面上の３点を結んで得られる三角形はどのような三角形か．…

// // 正の実数\(a\)，\(b\)，\(c\)を係数とする３次方程式 \(x^3+ax^2+bx+c=0\) が，純虚数の解をもつとする．\(ab-c\)の値を求めよ． ★不思議と解が\(x=a，\pm \sqrt{b}i\)とわかる★

// // 実数の集合\(A_n\)を\(A_n=\{x \mid n

// // \(0° \leqq x \leqq 360°\)，\(0° \leqq y \leqq 360°\)のとき，\(x\)，\(y\)を未知数とする連立方程式を解け． \(\left\{ \displaystyle \begin{array}{c} \displaystyle \sin x-\sin y=\frac{1}{2} \\ \displaystyle \cos x-\cos y=\frac{\sqrt{3}}{…

// // 一般角\(\theta\)に対して，\(\sin \theta\)，\(\cos \theta\)の定義を述べよ． また，その定義にもとづき，一般角\(\alpha\)，\(\beta\)に対して \(\sin \left(\alpha+\beta\right)=\sin \alpha\cos \beta+\cos \alpha\sin \beta\) \(\cos \left(\alp…

// // 図において点\(\rm A\)から出発して，線分に沿って移動する動点\(\rm P\)を考える．\(\rm P\)は各点\(\rm A\)，\(\rm B\)，\(\rm C\)，\(\rm D\)，\(\rm E\)，\(\rm F\)において，１度通過した線分を除いて等しい確率で次の点に向かって移動する．ただ…

// // 微分可能な関数\(f(x)\)が\(f(0)=0\)かつ\(f^{\prime}(0)=\pi\)を満たすとき，次の極限値を求めよ． \(\displaystyle\lim_{\theta\to0}\frac{f(1-\cos2\theta)}{\theta^2}\) ★基本的な公式が身についていれば解けるが…★

// // \(a\)，\(d\)を正の整数とする．\(x_1=a\)，\(x_2=a+d\)，\(x_3=a+2d\)，\(x_4=a+3d\)とおく．\(x_1\)，\(x_2\)，\(x_3\)，\(x_4\)がすべて素数であり，\(x_3=67\)のとき，\(a\)，\(d\)の値を求めよ． ★\(a+4d\)，\(a+5d\)も素数となります★

// // 連続する４つの自然数\(x\)，\(y\)，\(z\)，\(w\)が \(x^3+y^3+z^3=w^3\) をみたすとき，\(x\)，\(y\)，\(z\)，\(w\)を求めよ．ただし，\(x

// // \(\alpha\)は\(1\)でない複素数で，\(\alpha^3=1\)をみたすものとする． \(\left( \alpha+1 \right)^{2006}=p+qi\) となる実数\(p\)，\(q\)の値を求めよ．ただし，\(i\)は虚数単位である． ★二項定理を使ってはいけません★